Упр.149 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\sqrt{225+x^2}=x^2-47$$;
   б) $$\sqrt[3]{x-2}=x-2$$;
   в) $$\sqrt{x^2+36}=x^2-54$$;
   г) $$\sqrt[3]{x^3-5x^2+16x-5}=x-2$$.

а) $$\sqrt{225+x^2}=x^2-47.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$225+x^2=x^4-94x^2+2209.$$

$$x^4-95x^2+1984=0.$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-95t+1984=0.$$

$$D=95^2-4\cdot1984=9025-7936=1089,$$

$$t_{1,2}=\frac{95\pm33}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=31,\qquad t_2=64.$$

Значит,

$$x^2=31 \quad \text{или} \quad x^2=64.$$

Проверим область допустимых значений: $$x^2-47\ge 0,$$ то есть $$x^2\ge 47.$$

Подходит только $$x^2=64,$$ откуда

$$x=\pm 8.$$

б) $$\sqrt[3]{x-2}=x-2.$$

Положим $$t=x-2$$. Тогда

$$\sqrt[3]{t}=t.$$

Возведём в куб:

$$t=t^3,$$

$$t^3-t=0,$$

$$t(t^2-1)=0,$$

$$t(t-1)(t+1)=0.$$

Отсюда $$t=0,\;1,\;-1.$$

Но в исходном уравнении при $$t=-1$$ получаем $$\sqrt[3]{-1}=-1,$$ значит это тоже решение. Тогда

$$x-2=0,\;1,\;-1,$$

$$x=2,\;3,\;1.$$

Проверка показывает, что все три значения подходят.

в) $$\sqrt{x^2+36}=x^2-54.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2+36=x^4-108x^2+2916.$$

$$x^4-109x^2+2880=0.$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-109t+2880=0.$$

$$D=109^2-4\cdot2880=11881-11520=361,$$

$$t_{1,2}=\frac{109\pm19}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=45,\qquad t_2=64.$$

Значит,

$$x^2=45 \quad \text{или} \quad x^2=64.$$

Из области допустимых значений $$x^2-54\ge 0$$ следует $$x^2\ge 54.$$

Подходит только $$x^2=64,$$ поэтому

$$x=\pm 8.$$

г) $$\sqrt[3]{x^3-5x^2+16x-5}=x-2.$$

Возведём обе части в куб:

$$x^3-5x^2+16x-5=(x-2)^3.$$

Раскроем куб:

$$x^3-5x^2+16x-5=x^3-6x^2+12x-8.$$

Сократим $$x^3$$:

$$x^2+4x+3=0.$$

$$\left(x+1\right)\left(x+3\right)=0.$$

Отсюда

$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=-3.$$

Ответ

а) $$x=-8,\;8$$; б) $$x=1,\;2,\;3$$; в) $$x=-8,\;8$$; г) $$x=-3,\;-1$$.