Упр.149 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$((x+1)^2)^{1/3}+2(x^2-1)^{1/3}=8((x-1)^2)^{1/3}$$;
   б) $$((2-x)^2)^{1/3}+((7+x)^2)^{1/3}=((7+x)(2-x))^{1/3}$$.

а) Обозначим

$$y=\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}, \qquad x\ne 1.$$

Тогда уравнение можно переписать в виде

$$y^2+2y=8,$$

то есть

$$y^2+2y-8=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-4,\qquad y_2=2.$$

1) Если $$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}=-4,$$ то

$$\frac{x+1}{x-1}=-64,$$

$$x+1=-64x+64,$$

$$65x=63,$$

$$x=\frac{63}{65}.$$

2) Если $$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}=2,$$ то

$$\frac{x+1}{x-1}=8,$$

$$x+1=8x-8,$$

$$7x=9,$$

$$x=\frac{9}{7}.$$

б) Обозначим

$$y=\sqrt[3]{\frac{2-x}{7+x}}, \qquad x\ne -7.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$y^2+1=y,$$

или

$$y^2-y+1=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0.$$

Следовательно, действительных значений $$y$$ нет, значит, нет и действительных решений исходного уравнения.

Ответ

а) $$\frac{63}{65},\ \frac{9}{7}$$; б) корней нет.