Упр.148 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{2+x}}+\sqrt{2+x}=0$$; б) $$\sqrt{x}+x^{1/4}-2=0$$; в) $$\frac{x-\sqrt{x+5}}{x+\sqrt{x+5}}=\frac{1}{7}$$; г) $$(3x+1)^{1/3}-\sqrt{3x+1}=0$$.

а) $$\sqrt{x}-\frac{4}{\sqrt{2+x}}+\sqrt{2+x}=0.$$

Перенесём дробь вправо и умножим на $$\sqrt{2+x}$$:

$$\sqrt{x}\sqrt{2+x}-4+(2+x)=0.$$

Тогда

$$\sqrt{x(2+x)}=2-x.$$

Возведём в квадрат:

$$x(2+x)=(2-x)^2,$$

$$x^2+2x=4-4x+x^2,$$

$$6x=4,$$

$$x=\frac{2}{3}.$$

Проверка области определения:

$$2+x>0,\quad x>-2,$$

$$2-x\ge 0,\quad x\le 2.$$

Значение $$x=\frac{2}{3}$$ подходит.

б) $$\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}-2=0.$$

Обозначим $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$\sqrt{x}=t^2$$. Получаем:

$$t^2+t-2=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0.$$

С учётом условия $$t\ge 0$$ имеем $$t=1$$. Тогда

$$x=t^4=1.$$

в) $$\frac{x-\sqrt{x+5}}{x+\sqrt{x+5}}=\frac17.$$

Перемножим крест-накрест:

$$7x-7\sqrt{x+5}=x+\sqrt{x+5},$$

$$6x=8\sqrt{x+5},$$

$$3x=4\sqrt{x+5}.$$

Возведём в квадрат:

$$9x^2=16(x+5),$$

$$9x^2-16x-80=0.$$

$$D=16^2+4\cdot 9\cdot 80=3136,$$

$$x_{1,2}=\frac{16\pm 56}{18}.$$

Получаем:

$$x_1=-\frac{20}{9},\quad x_2=4.$$

Проверка области определения:

$$x+5\ge 0,\quad x\ge -5,$$

а из уравнения $$3x=4\sqrt{x+5}$$ следует $$x\ge 0$$. Подходит только $$x=4$$.

г) $$\sqrt[3]{3x+1}-\sqrt{3x+1}=0.$$

Положим $$t=\sqrt{3x+1}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$\sqrt[3]{3x+1}=t^{2/3}$$, но удобнее сразу заметить:

$$\sqrt[3]{3x+1}=\sqrt{3x+1}.$$

Обозначим $$u=3x+1\ge 0$$. Тогда

$$\sqrt[3]{u}=\sqrt{u}.$$

Возведём обе части в шестую степень:

$$u^2=u^3,$$

$$u^2(u-1)=0.$$

Отсюда

$$u=0 \quad \text{или} \quad u=1.$$

Значит,

$$3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13,$$

$$3x+1=1 \Rightarrow x=0.$$

Ответ: а) $$\frac23$$; б) $$1$$; в) $$4$$; г) $$-\frac13,\ 0$$.