Упр.148 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}=17$$;
   б) $$\sqrt[4]{x(2-x)}+\sqrt[3]{x^4(2-x)^7(x+3)^5}+\sqrt[6]{(x-2)(x+1)x^2}+\sqrt[5]{(x+2)(x+6)}=2$$.

а) Обозначим $$t=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}.$$ Тогда

$$t=17.$$

Возведём в квадрат:

$$x-2+2\sqrt{(x-2)(1-x)}+1-x=289,$$

$$2\sqrt{(x-2)(1-x)}=290.$$

Но при существовании корней должно быть одновременно $$x-2\ge 0$$ и $$1-x\ge 0,$$ то есть $$x\ge 2$$ и $$x\le 1,$$ что невозможно. Следовательно, действительных значений $$x$$ нет.

Ответ: корней нет.

Решение

б) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt[4]{x(2-x)}+\sqrt[3]{x^2(2-x)^7(x+3)^5}+\sqrt[6]{(x-2)(x+1)x^2}+\sqrt[5]{(x+2)(x+6)}=2.$$

Найдём область определения:

• $$x(2-x)\ge 0,\quad 0\le x\le 2;$$
• $$x^2(2-x)^7(x+3)^5\ge 0,\quad -3\le x\le 2,\ x=0;$$
• $$(x-2)(x+1)x^2\ge 0,\quad x\le -1,\ x\ge 2,\ x=0;$$
• $$(x+2)(x+6)\ge 0,\quad x\le -6,\ x\ge -2.$$

Пересечение всех условий даёт $$x=0$$ или $$x=2.$$

Проверим эти значения:

$$f(0)=0+0+0+\sqrt[5]{12}\ne 2,$$

$$f(2)=0+0+0+\sqrt[5]{32}=2.$$

Значит, уравнение имеет единственный корень:

Ответ: $$2$$.