Упр.148 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Для каждой прямой подставим её уравнение в заданные функции и найдём координаты точек пересечения.

а) $$x=4{,}5\pi$$

Подставим $$x=4{,}5\pi$$.

Для функции $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:

$$y=2\cos\left(2\cdot 4{,}5\pi-\frac{\pi}{3}\right) =2\cos\left(9\pi-\frac{\pi}{3}\right) =2\cos\left(8\pi+\frac{2\pi}{3}\right) =2\cos\frac{2\pi}{3} =-1.$$

Для функции $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:

$$y=\sin\left(\frac{4{,}5\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) =\sin\left(\frac{9\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right) =\sin\frac{5\pi}{2} =1.$$

Точки пересечения: $$\left(4{,}5\pi;\,-1\right)$$ и $$\left(4{,}5\pi;\,1\right)$$.

б) $$y=-1$$

Для функции $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:

$$-1=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right),\qquad \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12.$$

Отсюда

$$2x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Для функции $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:

$$-1=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$

Значит,

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=-\frac{3\pi}{2}+4\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Точки пересечения:

$$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\,-1\right),\quad \left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\,-1\right),\quad \left(-\frac{3\pi}{2}+4\pi n;\,-1\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) $$y=1$$

Для функции $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:

$$1=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right),\qquad \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Отсюда

$$2x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Для функции $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:

$$1=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+4\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Точки пересечения:

$$\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\,1\right),\quad \left(\pi n;\,1\right),\quad \left(\frac{\pi}{2}+4\pi n;\,1\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) $$y=0$$

Для функции $$y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$:

$$0=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right),\qquad \cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=0.$$

Значит,

$$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Для функции $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$$:

$$0=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Точки пересечения:

$$\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\,0\right),\quad \left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,0\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$