Упр.147 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\sqrt{x+17}-\sqrt{x-7}=4$$;
   б) $$12\sqrt{x-1}-(x-1)^{1/4}=3$$;
   в) $$\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9$$;
   г) $$2(x+1)^{1/3}-(x+1)^{1/6}=6$$.

а) $$\sqrt{x+17}-\sqrt{x-7}=4.$$

Перенесём один корень вправо:

$$\sqrt{x+17}=4+\sqrt{x-7}.$$

Возведём в квадрат:

$$x+17=16+8\sqrt{x-7}+x-7.$$

$$8\sqrt{x-7}=8,$$

$$\sqrt{x-7}=1,$$

$$x-7=1,$$

$$x=8.$$

Проверка области определения: $$x\ge 7.$$ Значение $$x=8$$ подходит.

Ответ: $$8.$$

б) $$2\sqrt{x-1}+\sqrt[4]{x-1}=3.$$

Пусть $$y=\sqrt[4]{x-1},$$ тогда $$\sqrt{x-1}=y^2.$$ Получаем:

$$2y^2+y=3,$$

$$2y^2+y-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+24=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4}.$$

Отсюда $$y_1=1,$$ $$y_2=-\frac32.$$

Так как $$y=\sqrt[4]{x-1}\ge 0,$$ подходит только $$y=1.$$ Тогда

$$\sqrt[4]{x-1}=1,$$

$$x-1=1,$$

$$x=2.$$

Ответ: $$2.$$

в) $$\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9.$$

Возведём в квадрат:

$$x+7+2\sqrt{(x+7)(x-2)}+x-2=81,$$

$$2\sqrt{x^2+5x-14}=76-2x,$$

$$\sqrt{x^2+5x-14}=38-x.$$

Снова возведём в квадрат:

$$x^2+5x-14=(38-x)^2,$$

$$x^2+5x-14=1444-76x+x^2,$$

$$81x=1458,$$

$$x=18.$$

Проверка области определения: $$x\ge 2,$$ и $$38-x\ge 0,$$ значит $$x=18$$ подходит.

Ответ: $$18.$$

г) $$2\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[6]{x+1}=6.$$

Пусть $$y=\sqrt[6]{x+1},$$ тогда $$\sqrt[3]{x+1}=y^2.$$ Получаем:

$$2y^2-y=6,$$

$$2y^2-y-6=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+48=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}.$$

Отсюда $$y_1=-\frac32,$$ $$y_2=2.$$ Так как $$y=\sqrt[6]{x+1}\ge 0,$$ подходит только $$y=2.$$ Тогда

$$\sqrt[6]{x+1}=2,$$

$$x+1=64,$$

$$x=63.$$

Ответ: $$63.$$