Упр.147 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$v(x-1-2v(x-2))+v(x+7-6v(x-2))=2$$;
   б) $$v(x+3-4v(x-1))+v(x+8-6v(x-1))=1$$.

Пусть в первом уравнении $$y=\sqrt{x-2}.$$ Тогда $$y\ge 0,$$ $$x=y^2+2.$$

Получаем:

$$\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=2$$

$$\sqrt{y^2+1-2y}+\sqrt{y^2+9-6y}=2$$

$$\sqrt{(y-1)^2}+\sqrt{(y-3)^2}=2$$

$$|y-1|+|y-3|=2.$$

Рассмотрим случаи:

1. Если $$y\le 1,$$ то

   $$|y-1|+|y-3|=(1-y)+(3-y)=4-2y.$$

   Тогда $$4-2y=2,$$ откуда $$y=1.$$

2. Если $$1\le y\le 3,$$ то

   $$|y-1|+|y-3|=(y-1)+(3-y)=2,$$

   то есть равенство выполняется при любом $$y$$ из этого промежутка.

3. Если $$y\ge 3,$$ то

   $$|y-1|+|y-3|=(y-1)+(y-3)=2y-4.$$

   Тогда $$2y-4=2,$$ откуда $$y=3.$$

Значит, $$1\le y\le 3.$$ Возвращаясь к замене, получаем

$$1\le \sqrt{x-2}\le 3.$$

Возведём в квадрат:

$$1\le x-2\le 9,$$

откуда

$$3\le x\le 11.$$

Во втором уравнении положим $$y=\sqrt{x-1}.$$ Тогда $$y\ge 0,$$ $$x=y^2+1.$$

Имеем:

$$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$$

$$\sqrt{y^2+4-4y}+\sqrt{y^2+9-6y}=1$$

$$\sqrt{(y-2)^2}+\sqrt{(y-3)^2}=1$$

$$|y-2|+|y-3|=1.$$

Рассмотрим случаи:

1. Если $$y\le 2,$$ то

   $$|y-2|+|y-3|=(2-y)+(3-y)=5-2y.$$

   Тогда $$5-2y=1,$$ откуда $$y=2.$$

2. Если $$2\le y\le 3,$$ то

   $$|y-2|+|y-3|=(y-2)+(3-y)=1,$$

   то есть равенство выполняется при любом $$y$$ из этого промежутка.

3. Если $$y\ge 3,$$ то

   $$|y-2|+|y-3|=(y-2)+(y-3)=2y-5.$$

   Тогда $$2y-5=1,$$ откуда $$y=3.$$

Следовательно, $$2\le y\le 3.$$ Тогда

$$2\le \sqrt{x-1}\le 3,$$

$$4\le x-1\le 9,$$

$$5\le x\le 10.$$

Ответ

а) $$[3;11]$$; б) $$[5;10]$$.