Упр.147 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\sin(3x-x)=\sin 2x.$$

Тогда

$$\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим обе части на $$2$$:

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=1.$$

Используем формулу

$$\sin^2 t-\cos^2 t=-\cos 2t.$$

Тогда

$$-\cos\frac{x}{2}=1,$$

то есть

$$\cos\frac{x}{2}=-1.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{2}=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и значит

$$x=2\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin 2x\cos 2x=-\frac14.$$

Преобразуем левую часть по формуле двойного угла:

$$\sin 4x=-\frac12.$$

Тогда

$$4x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим на $$4$$:

$$x=(-1)^n\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin\frac{x}{3}\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{x}{3}\sin\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Используем формулу синуса разности:

$$\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$\frac{x}{3}-\frac{\pi}{5}=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Умножаем на $$3$$:

$$x=\frac{3\pi}{5}+(-1)^n\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=2\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=(-1)^n\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{3\pi}{5}+(-1)^n\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$