Упр.146 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнения: а) $$\sqrt{x^2+2x+10}=2x-1$$; б) $$\sqrt{x^2-16}=x^2-22$$; в) $$\sqrt{17+2x-3x^2}=x+1$$; г) $$\sqrt{x^2+9}=x^2-11$$.
а) $$\sqrt{x^2+2x+10}=2x-1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2+2x+10=4x^2-4x+1$$
$$3x^2-6x-9=0$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$$
$$x=3 \text{ или } x=-1$$
Проверим область допустимых значений: $$2x-1\ge 0$$, значит $$x\ge \frac12$$. Подходит только $$x=3$$.
б) $$\sqrt{x^2-16}=x^2-22$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-16=x^4-44x^2+484$$
$$x^4-45x^2+500=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-45t+500=0$$
$$D=45^2-4\cdot 500=25$$
$$t_{1,2}=\frac{45\pm 5}{2}$$
$$t_1=20,\quad t_2=25$$
Значит,
$$x^2=20 \Rightarrow x=\pm 2\sqrt5,$$
$$x^2=25 \Rightarrow x=\pm 5.$$
Проверим ОДЗ: $$x^2-22\ge 0$$, то есть $$x^2\ge 22$$. Подходит только $$x=\pm 5$$.
в) $$\sqrt{17+2x-3x^2}=x+1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$17+2x-3x^2=x^2+2x+1$$
$$4x^2-16=0$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
Проверим ОДЗ: $$x+1\ge 0$$, значит $$x\ge -1$$. Подходит только $$x=2$$.
г) $$\sqrt{x^2+9}=x^2-11$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2+9=x^4-22x^2+121$$
$$x^4-23x^2+112=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-23t+112=0$$
$$D=23^2-4\cdot 112=81$$
$$t_{1,2}=\frac{23\pm 9}{2}$$
$$t_1=7,\quad t_2=16$$
Следовательно,
$$x^2=7 \Rightarrow x=\pm \sqrt7,$$
$$x^2=16 \Rightarrow x=\pm 4.$$
Проверим ОДЗ: $$x^2-11\ge 0$$, то есть $$x^2\ge 11$$. Подходит только $$x=\pm 4$$.
Ответ: а) $$3$$; б) $$-5,\,5$$; в) $$2$$; г) $$-4,\,4$$.
