Упр.146 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения:

1. а) $$\sqrt{1+\cos x}=\sin x$$; б) $$\sqrt{1-2\cos x}=\sin x$$; в) $$\sqrt{4-3\cos x}=-2\cos x$$; г) $$\sqrt{2\sin 2x}=-2\sin x$$.

а) $$\sqrt{1+\cos x}=\sin x.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1+\cos x=\sin^2 x.$$

Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$1+\cos x=1-\cos^2 x,$$

$$\cos^2 x+\cos x=0,$$

$$\cos x(\cos x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-1.$$

Проверим условие $$\sin x\ge 0$$, так как левая часть неотрицательна.

Получаем:

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{1-2\cos x}=\sin x.$$

Возведём в квадрат:

$$1-2\cos x=\sin^2 x.$$

Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$1-2\cos x=1-\cos^2 x,$$

$$\cos^2 x-2\cos x=0,$$

$$\cos x(\cos x-2)=0.$$

Так как $$\cos x\ne 2,$$ то остаётся:

$$\cos x=0.$$

С учётом условия $$\sin x\ge 0$$:

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sqrt{4-3\cos x}=-2\cos x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$-2\cos x\ge 0,$$ то есть $$\cos x\le 0.$$

Возведём в квадрат:

$$4-3\cos x=4\cos^2 x.$$

$$4\cos^2 x+3\cos x-4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=3^2-4\cdot 4\cdot(-4)=9+64=73.$$

$$\cos x=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{8}.$$

Значение

$$\frac{-3-\sqrt{73}}{8}<-1,$$

не подходит. Второе значение положительно, а нужно $$\cos x\le 0.$$

Следовательно, корней нет.

г) $$\sqrt{2\sin 2x}=-2\sin x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$-2\sin x\ge 0,$$ значит $$\sin x\le 0.$$

Возведём в квадрат:

$$2\sin 2x=4\sin^2 x.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$4\sin x\cos x=4\sin^2 x,$$

$$\sin x(\cos x-\sin x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\sin x.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x=\sin x \Rightarrow \tan x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

С учётом условия $$\sin x\le 0$$ подходит только

$$x=\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) Корней нет.

г) $$x=\pi n,\ \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$