Упр.146 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) Введём новую неизвестную $$t=\frac{\pi}{6}-2x.$$ Тогда получаем:
$$\cos t=-1.$$
Отсюда
$$t=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac{\pi}{6}-2x=\pi+2\pi n,$$
$$-2x=\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi n=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$
$$x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Введём новую неизвестную $$t=\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}.$$ Тогда
$$2\sin t=\sqrt{3},$$
$$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно,
$$t=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,$$
$$-\frac{x}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}+\pi n,$$
$$x=\frac{4\pi}{3}\bigl(1-(-1)^n\bigr)-4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Это можно записать и так:
$$x=4\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{8\pi}{3}+4\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
в) Введём новую неизвестную $$t=\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}.$$ Тогда
$$\tg t=-1.$$
Отсюда
$$t=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\pi-2\pi n.$$
Переобозначая целое число, получаем
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) Введём новую неизвестную $$t=\frac{\pi}{4}-3x.$$ Тогда
$$2\cos t=\sqrt{2},$$
$$\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Следовательно,
$$t=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac{\pi}{4}-3x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$
Рассмотрим два случая:
- $$\frac{\pi}{4}-3x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \Rightarrow x=-\frac{2\pi n}{3};$$
- $$\frac{\pi}{4}-3x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi n}{3}.$$
Значит,
$$x=\frac{2\pi}{3}n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=4\pi n \ \text{или}\ x=\frac{8\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\frac{2\pi}{3}n \ \text{или}\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n,\ n\in\mathbb Z.$$
