Упр.145 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите справедливость неравенства:
а) $$m+\frac{4}{m}\geq 4$$ при $$m>0$$;
б) $$\frac{2m}{1+m^2}\leq 1$$;
в) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$$ при $$a>0$$, $$b>0$$;
г) $$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$$ при $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$, $$a
а) При $$m>0$$ умножим неравенство на $$m$$:
$$m+\frac{4}{m}\ge 4 \iff m^2+4\ge 4m \iff m^2-4m+4\ge 0.$$
Получаем:
$$m^2-4m+4=(m-2)^2\ge 0.$$
Следовательно, $$m+\frac{4}{m}\ge 4.$$
б) Так как $$1+m^2>0,$$ умножим неравенство на $$1+m^2$$:
$$\frac{2m}{1+m^2}\le 1 \iff 2m\le 1+m^2 \iff m^2-2m+1\ge 0.$$
Имеем:
$$m^2-2m+1=(m-1)^2\ge 0.$$
Значит, $$\frac{2m}{1+m^2}\le 1.$$
в) Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2 \iff \frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2.$$
Так как $$a>0,\ b>0,$$ то $$ab>0,$$ и можно умножить на $$ab$$:
$$a^2+b^2\ge 2ab \iff a^2-2ab+b^2\ge 0.$$
Получаем:
$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\ge 0.$$
Следовательно, $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$
г) Так как $$a<b$$ и $$c>0,$$ то $$a+c<b+c,$$ а значит, при положительных знаменателях можно сравнить дроби перекрёстным умножением:
$$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c} \iff a(b+c)<b(a+c).$$
Раскроем скобки:
$$ab+ac<ab+bc \iff ac<bc \iff c(a-b)<0.$$
Поскольку $$c>0$$ и $$a-b<0,$$ то $$c(a-b)<0.$$
Значит, $$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}.$$
