Упр.145 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнения:
а) $$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x-1}=1$$;
б) $$\sqrt[3]{10-x}+\sqrt[3]{3-x}=1$$;
в) $$x+\sqrt[3]{x}=2$$;
г) $$\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}=4$$.
Рассмотрим поочерёдно все уравнения.
$$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x-1}=1.$$
Пусть $$a=\sqrt{x}$$ и $$b=\sqrt[3]{x-1}.$$ Тогда
$$a+b=1,$$
а также
$$a^2-b^3=x-(x-1)=1.$$
Из $$a=1-b$$ получаем
$$(1-b)^2-b^3=1,$$
$$1-2b+b^2-b^3=1,$$
$$b^3-b^2+2b=0,$$
$$b(b^2-b+2)=0.$$
Так как $$D=1-8=-7<0,$$ то у квадратного трёхчлена действительных корней нет, значит $$b=0.$$ Тогда
$$x-1=0,\quad x=1.$$
$$\sqrt[3]{10-x}-\sqrt[3]{3-x}=1.$$
Пусть $$a=\sqrt[3]{10-x}$$ и $$b=\sqrt[3]{3-x}.$$ Тогда
$$a-b=1,$$
$$a^3-b^3=10-x-(3-x)=7.$$
Подставим $$b=a-1$$:
$$a^3-(a-1)^3=7,$$
$$(a-(a-1))(a^2+a(a-1)+(a-1)^2)=7,$$
$$a^2+a(a-1)+(a-1)^2=7,$$
$$3a^2-3a-6=0,$$
$$a^2-a-2=0,$$
$$(a-2)(a+1)=0.$$
Отсюда $$a=2$$ или $$a=-1.$$
Если $$a=2,$$ то $$\sqrt[3]{10-x}=2,$$ значит $$10-x=8,$$ откуда $$x=2.$$
Если $$a=-1,$$ то $$\sqrt[3]{10-x}=-1,$$ значит $$10-x=-1,$$ откуда $$x=11.$$
$$x+\sqrt[3]{x}=2.$$
Пусть $$a=\sqrt[3]{x},$$ тогда $$x=a^3.$$ Получаем
$$a^3+a=2,$$
$$a^3+a-2=0.$$
Проверим $$a=1$$:
$$1^3+1-2=0.$$
Тогда
$$a^3+a-2=(a-1)(a^2+a+2)=0.$$
У квадратного трёхчлена $$a^2+a+2$$ действительных корней нет, так как
$$D=1-8=-7<0.$$
Значит, $$a=1,$$ и тогда $$x=1^3=1.$$
$$\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}+\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}=4.$$
Пусть
$$a=\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}},\quad b=\sqrt[3]{7+\sqrt{x+1}}.$$
Тогда
$$a+b=4,$$
$$a^3+b^3=9-\sqrt{x+1}+7+\sqrt{x+1}=16.$$
Используем формулу
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
Получаем
$$4(a^2-ab+b^2)=16,$$
$$a^2-ab+b^2=4.$$
Но
$$a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab=16-3ab,$$
значит $$16-3ab=4,$$ откуда $$ab=4.$$
Тогда из $$a+b=4$$ и $$ab=4$$ следует
$$t^2-4t+4=0,$$
$$(t-2)^2=0,$$
то есть $$a=b=2.$$
Следовательно,
$$\sqrt[3]{9-\sqrt{x+1}}=2,$$
$$9-\sqrt{x+1}=8,$$
$$\sqrt{x+1}=1,$$
$$x+1=1,$$
$$x=0.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$2,\,11$$; в) $$1$$; г) $$0$$.
