Упр.145 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Введём новую неизвестную $$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}.$$ Тогда

$$2\cos t=\sqrt{3}, \qquad \cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$t=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{3}\pm \frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Значит,

$$x=4\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) Введём новую неизвестную $$t=3x-\frac{\pi}{4}.$$ Тогда

$$2\sin t=-\sqrt{2}, \qquad \sin t=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно,

$$t=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3x-\frac{\pi}{4}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$3x=\frac{\pi}{4}+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{(-1)^{n+1}\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

в) Введём новую неизвестную $$t=\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}.$$ Тогда

$$\sqrt{3}\tan t=3, \qquad \tan t=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Отсюда

$$t=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$\frac{x}{3}=-\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

г) Введём новую неизвестную $$t=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}.$$ Тогда

$$\sin t+1=0, \qquad \sin t=-1.$$

Следовательно,

$$t=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=4\pi n$$ или $$x=\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in \mathbb{Z};$$

б) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{(-1)^{n+1}\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb{Z};$$

в) $$x=-\frac{\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in \mathbb{Z};$$

г) $$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$