Упр.144 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства:
   а) $$(x-1)(x+2)(x-3)(x-4)?0$$;
   б) $$x^4-3x^2+2?0$$;
   в) $$\frac{4-x}{x-5}>\frac{1}{1-x}$$;
   г) $$1+\frac{12}{x^2}<\frac{7}{x}$$.

а) $$\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\le 0.$$

Нули выражения: $$x=-2,\;1,\;3,\;4.$$

Знак произведения меняется при переходе через каждый из этих корней. Тогда

$$x\in[-2;1]\cup[3;4].$$

б) $$x^4-3x^2+2\le 0.$$

Положим $$t=x^2.$$ Тогда получаем

$$t^2-3t+2\le 0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)\le 0,$$

откуда $$1\le t\le 2.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем

$$1\le x^2\le 2,$$

то есть

$$x\in[-\sqrt2;-1]\cup[1;\sqrt2].$$

в) $$\frac{4-x}{x-5}>\frac{1}{1-x}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{4-x}{x-5}-\frac{1}{1-x}>0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(4-x)(1-x)-(x-5)}{(x-5)(1-x)}>0.$$

Числитель:

$$(4-x)(1-x)-(x-5)=x^2-6x+9=\left(x-3\right)^2.$$

Тогда

$$\frac{(x-3)^2}{(x-5)(1-x)}>0.$$

Так как $$\left(x-3\right)^2\ge 0,$$ то дробь положительна при

$$x\ne 3,\quad 1<x<5.$$

С учётом точки $$x=3$$ получаем

$$x\in(1;3)\cup(3;5).$$

г) $$1+\frac{12}{x^2}<\frac{7}{x}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$1+\frac{12}{x^2}-\frac{7}{x}<0.$$

Умножим на $$x^2$$, учитывая, что $$x\ne 0$$:

$$x^2-7x+12<0.$$

Разложим на множители:

$$\left(x-3\right)\left(x-4\right)<0.$$

Отсюда

$$x\in(3;4).$$

Ответ: а) $$[-2;1]\cup[3;4]$$; б) $$[-\sqrt2;-1]\cup[1;\sqrt2]$$; в) $$(1;3)\cup(3;5)$$; г) $$(3;4).$$