Упр.144 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения:

а) $$\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}}=x-1$$;

б) $$\sqrt{x^2-4x+3}+\sqrt{x^2-3x+6}=3$$;

в) $$\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}=x-1$$;

г) $$\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac14}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac14}=4\frac14$$.

а) Обозначим $$t=\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}}.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$t=x-1.$$

Возведём в квадрат:

$$1-\sqrt{x^4-x^2}=(x-1)^2=x^2-2x+1,$$

откуда

$$\sqrt{x^4-x^2}=2x-x^2.$$

Снова возведём в квадрат:

$$x^4-x^2=(2x-x^2)^2=x^4-4x^3+5x^2,$$

$$4x^3-6x^2=0,$$

$$2x^2(2x-3)=0.$$

Получаем кандидаты: $$x=0$$ или $$x=\frac32.$$

Проверим область допустимых значений и исходное уравнение. При $$x=0$$ левая часть равна $$1$$, правая — $$-1$$, не подходит. При $$x=\frac32$$ получаем верное равенство.

б) Пусть $$y=x^2-3x+3.$$ Тогда

$$\sqrt{y}+\sqrt{y+3}=3.$$

Возведём в квадрат:

$$y+2\sqrt{y(y+3)}+y+3=9,$$

$$2\sqrt{y(y+3)}=6-2y,$$

$$\sqrt{y(y+3)}=3-y.$$

Снова возведём в квадрат:

$$y^2+3y=(3-y)^2=9-6y+y^2,$$

$$9y=9,$$

$$y=1.$$

Тогда

$$x^2-3x+3=1,$$

$$x^2-3x+2=0,$$

$$x=1 \text{ или } x=2.$$

в) Обозначим $$t=\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}.$$ Тогда

$$t=x-1.$$

Возведём в квадрат:

$$1+x\sqrt{x^2-24}=x^2-2x+1,$$

$$x\sqrt{x^2-24}=x^2-2x.$$

Так как $$x\neq 0$$, делим на $$x$$:

$$\sqrt{x^2-24}=x-2.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2-24=(x-2)^2=x^2-4x+4,$$

$$4x=28,$$

$$x=7.$$

Проверка показывает, что значение подходит.

г) Пусть

$$y=\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=\frac1y,$$

и уравнение принимает вид

$$y+\frac1y=4\frac14=\frac{17}{4}.$$

Умножим на $$4y$$:

$$4y^2-17y+4=0.$$

$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=225,$$

$$y_1=\frac{17-15}{8}=\frac14,\qquad y_2=\frac{17+15}{8}=4.$$

1) Если $$y=\frac14$$, то

$$\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}=\frac14,$$

$$\frac{x+1}{x-1}=\frac1{256},$$

$$256(x+1)=x-1,$$

$$255x=-257,$$

$$x=-\frac{257}{255}.$$

2) Если $$y=4$$, то

$$\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}=4,$$

$$\frac{x+1}{x-1}=256,$$

$$x+1=256(x-1),$$

$$255x=257,$$

$$x=\frac{257}{255}.$$

Ответ

а) $$\frac32$$; б) $$1,\,2$$; в) $$7$$; г) $$-\frac{257}{255},\,\frac{257}{255}$$.