Упр.144 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Введём новую неизвестную $$t=-\frac{x}{3}.$$ Тогда

$$\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

$$-\frac{x}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Введём новую неизвестную $$t=-4x.$$ Тогда

$$\tg t=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Следовательно,

$$t=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ имеем

$$-4x=\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{4}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Так как косинус — чётная функция, то

$$\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Положим $$t=2x.$$ Тогда

$$\cos t=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$t=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$2x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Введём новую неизвестную $$t=-\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\ctg t=1.$$

Следовательно,

$$t=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

$$-\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{2}-2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как $$n\in\mathbb Z,$$ то можно записать ответ в виде

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{4}n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$