Упр.143 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства: а) $$\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}?0$$; б) $$\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+8}?0$$; в) $$\frac{x-2}{(x-3)(x-5)}<0$$; г) $$\frac{x^2+5x+4}{x^2-5x-6}>0$$.

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1. $$\frac{(x-1)(x-2)}{x-3}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=1,\; x=2,\; x=3.$$

   Знак дроби неотрицателен на промежутках $$[1;2]$$ и $$\left(3;+\infty\right).$$

   Ответ: $$[1;2]\cup(3;+\infty).$$

2. $$\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+8}\le 0$$

   Знаменатель всегда положителен, так как

   $$x^2-2x+8=(x-1)^2+7>0.$$

   Значит, нужно решить неравенство

   $$x^2+2x-3\le 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$

   Тогда

   $$-3\le x\le 1.$$

   Ответ: $$[-3;1].$$

3. $$\frac{x-2}{(x-3)(x-5)}<0$$

   Критические точки: $$x=2,\; x=3,\; x=5.$$

   Знак дроби отрицателен на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$\left(3;5\right).$$

   Ответ: $$(-\infty;2)\cup(3;5).$$

4. $$\frac{x^2+5x+4}{x^2-5x-6}>0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+5x+4=(x+1)(x+4),$$

   $$x^2-5x-6=(x-6)(x+1).$$

   Тогда

   $$\frac{(x+1)(x+4)}{(x-6)(x+1)}>0.$$

   Сокращать на $$x+1$$ нельзя, поэтому учитываем, что $$x\ne -1.$$

   После исследования знаков получаем:

   $$x<-4 \quad \text{или} \quad x>6.$$

   Ответ: $$(-\infty;-4)\cup(6;+\infty).$$