Упр.142 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенства:

• а) $$2x^2+6x+17>0$$; б) $$x^2-3{,}2x<0$$; в) $$(3x-2)^2-4x(2x-3)?0$$; г) $$(6x-1)(1+6x)+14<7x(2+5x)$$.

а) $$2x^2+6x+17>0$$

Найдём дискриминант:

$$D=6^2-4\cdot 2\cdot 17=36-136=-100.$$

Так как $$D<0$$ и $$a=2>0,$$ квадратный трёхчлен положителен при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

Ответ: $$(-\infty;+\infty).$$

б) $$x^2-3{,}2x<0$$

Вынесем $$x$$ за скобки:

$$x(x-3{,}2)<0.$$

Произведение отрицательно между корнями:

$$0<x<3{,}2.$$

Ответ: $$(0;3{,}2).$$

в) $$\left(3x-2\right)^2-4x(2x-3)\ge 0$$

Раскроем скобки:

$$9x^2-12x+4-8x^2+12x\ge 0,$$

$$x^2+4\ge 0.$$

Это неравенство верно при любом $$x\in \mathbb{R}.$$

Ответ: $$(-\infty;+\infty).$$

г) $$\left(6x-1\right)\left(1+6x\right)+14<7x(2+5x)$$

Раскроем скобки:

$$36x^2-1+14<14x+35x^2,$$

$$x^2-14x+13<0.$$

Найдём корни:

$$D=14^2-4\cdot 13=196-52=144,$$

$$x_{1,2}=\frac{14\pm 12}{2},$$

$$x_1=1,\quad x_2=13.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями:

$$1<x<13.$$

Ответ: $$(1;13).$$