Упр.142 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$n \in \mathbb{Z}.$$

Решение

1. $$\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Введём новую неизвестную $$t=2x.$$ Тогда

   $$\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Отсюда

   $$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

2. $$\cos \frac{x}{3}=-\frac{1}{2}.$$

   Положим $$t=\frac{x}{3}.$$ Тогда

   $$\cos t=-\frac{1}{2}.$$

   Следовательно,

   $$t=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

   Тогда

   $$\frac{x}{3}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

   $$x=\pm 2\pi+6\pi n.$$

3. $$\sin \frac{x}{4}=\frac{1}{2}.$$

   Пусть $$t=\frac{x}{4}.$$ Тогда

   $$\sin t=\frac{1}{2}.$$

   Отсюда

   $$t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$\frac{x}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

   $$x=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+4\pi n.$$

4. $$\cos 4x=0.$$

   Введём новую неизвестную $$t=4x.$$ Тогда

   $$\cos t=0.$$

   Следовательно,

   $$t=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   Тогда

   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z};$$
б) $$x=\pm 2\pi+6\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$
в) $$x=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$
г) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}.$$