Упр.141 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнения:

а) $$\frac{4}{x^2+4}+\frac{5}{x^2+5}=2$$;

б) $$2x^4-5x^2+2=0$$;

в) $$\left(\frac{x-1}{x}\right)^2-3\left(\frac{x-1}{x}\right)+2=0$$;

г) $$\frac{x^2+1}{x}+\frac{x}{x^2+1}=2{,}5$$.

а) $$\frac{4}{x^2+4}+\frac{5}{x^2+5}=2.$$

Умножим обе части на $$\left(x^2+4\right)\left(x^2+5\right):$$

$$4(x^2+5)+5(x^2+4)=2(x^2+4)(x^2+5).$$

$$4x^2+20+5x^2+20=2x^4+18x^2+40.$$

$$2x^4+9x^2=0,$$

$$x^2(2x^2+9)=0.$$

Отсюда $$x=0$$, так как уравнение $$2x^2+9=0$$ не имеет действительных корней.

б) $$2x^4-5x^2+2=0.$$

Положим $$y=x^2$$. Тогда получаем:

$$2y^2-5y+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=2.$$

Тогда:

$$x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt2}{2},$$

$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt2.$$

в) $$\left(\frac{x-1}{x}\right)^2-3\left(\frac{x-1}{x}\right)+2=0.$$

Пусть $$y=\frac{x-1}{x}$$, тогда:

$$y^2-3y+2=0.$$

$$\left(y-1\right)\left(y-2\right)=0,$$

откуда $$y=1$$ или $$y=2.$$

1) $$\frac{x-1}{x}=1 \Rightarrow x-1=x,$$ что невозможно.

2) $$\frac{x-1}{x}=2 \Rightarrow x-1=2x \Rightarrow x=-1.$$

г) $$\frac{x^2+1}{x}+\frac{x}{x^2+1}=2{,}5=\frac52.$$

Пусть $$y=\frac{x^2+1}{x}.$$ Тогда:

$$y+\frac1y=\frac52.$$

Умножим на $$2y$$:

$$2y^2-5y+2=0.$$

$$D=9,\qquad y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=2.$$

1) $$\frac{x^2+1}{x}=\frac12 \Rightarrow 2x^2-x+2=0,$$

$$D=1-16=-15<0,$$ действительных корней нет.

2) $$\frac{x^2+1}{x}=2 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0,$$

$$x=1.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$-\sqrt2,\ -\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt2}{2},\ \sqrt2$$; в) $$-1$$; г) $$1$$.