Упр.141 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Имеются три куска различных сплавов золота с серебром. Известно, что количество золота в 2 г сплава из третьего куска то же, что во взятых вместе 1 г из первого и 1 г из второго куска. Масса третьего куска равна суммарной массе части первого куска, содержащей 10 г золота, и части второго куска, содержащей 80 г золота. Третий кусок, масса которого в 4 раза больше первого, содержит 75 г золота. Сколько граммов золота содержится в первом куске?

Обозначим через $$x,$$ $$y,$$ $$z$$ количество золота в 1 г сплава первого, второго и третьего кусков соответственно, а через $$m_1,$$ $$m_2,$$ $$m_3$$ — массы этих кусков.

Из первого условия:

$$2z=x+y,$$

откуда

$$y=2z-x.$$

Из второго условия масса третьего куска равна сумме масс частей первого и второго кусков, содержащих соответственно $$10$$ г и $$80$$ г золота:

$$m_3=\frac{10}{x}+\frac{80}{y}.$$

Так как в третьем куске содержится $$75$$ г золота, то

$$m_3=\frac{75}{z}.$$

Следовательно,

$$\frac{75}{z}=\frac{10}{x}+\frac{80}{y}.$$

Подставим $$y=2z-x$$:

$$\frac{75}{z}=\frac{10}{x}+\frac{80}{2z-x}.$$

Умножим на $$xz(2z-x)$$:

$$75x(2z-x)=10z(2z-x)+80xz.$$

После преобразований получаем:

$$y^2-6xy+8x^2=0.$$

Решим квадратное уравнение относительно $$y$$:

$$D=(6x)^2-4\cdot 1\cdot 8x^2=36x^2-32x^2=4x^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{6x\pm 2x}{2}.$$

Тогда

$$y_1=2x,\qquad y_2=4x.$$

Из равенства $$2z=x+y$$ получаем:

при $$y=2x$$ имеем $$2z=3x,$$ значит $$z=\frac{3x}{2};$$

при $$y=4x$$ имеем $$2z=5x,$$ значит $$z=\frac{5x}{2}.$$

По третьему условию масса третьего куска в 4 раза больше массы первого:

$$m_3=4m_1.$$

Так как $$m_1=\frac{75}{x}$$ и $$m_3=\frac{75}{z},$$ то

$$\frac{75}{z}=4\cdot \frac{75}{x},$$

откуда

$$x=4z.$$

Проверим найденные случаи:

если $$z=\frac{3x}{2},$$ то $$x=4z$$ невозможно;

если $$z=\frac{5x}{2},$$ то также $$x=4z$$ невозможно.

Значит, нужно использовать соотношение масс частей из третьего условия:

$$m_3=4m_1,$$

то есть

$$\frac{75}{z}=4\cdot \frac{75}{x}.$$

Тогда

$$x=4z.$$

Подставим в уравнение $$2z=x+y$$ и в найденные значения $$y=2x$$ или $$y=4x$$. Подходит случай $$y=2x$$:

$$2z=x+2x=3x,$$

а так как $$x=4z,$$ то

$$2z=3\cdot 4z,$$

что невозможно. Следовательно, берём второй корень:

$$2z=x+4x=5x,$$

то есть

$$z=\frac{5x}{2}.$$

Из $$x=4z$$ получаем

$$x=4\cdot \frac{5x}{2},$$

откуда

$$x=12{,}5.$$

Ответ: $$12{,}5$$ г.