Упр.140 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$\frac{6x-x^2-6}{x-1}-\frac{2x-3}{x-1}=1$$; б) $$\frac{2x+1}{x}+\frac{4x}{2x+1}=5$$; в) $$\frac{2}{x^2+5x}+\frac{3}{2x-10}=\frac{15}{x^2-25}$$; г) $$\frac{14}{x^2-4}+\frac{3}{(2-x)^2}=\frac{5}{(x+2)^2}$$.

а) $$\frac{6x-x^2-6}{x-1}-\frac{2x-3}{x-1}=1$$

$$6x-x^2-6-2x+3=x-1$$

$$4x-x^2-3=x-1$$

$$x^2-3x+2=0$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=1$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}$$

$$x_1=1,\quad x_2=2$$

Так как $$x\neq 1,$$ то подходит только $$x=2.$$

б) $$\frac{2x+1}{x}+\frac{4x}{2x+1}=5$$

$$\frac{(2x+1)^2+4x^2}{x(2x+1)}=5$$

$$4x^2+4x+1+4x^2=5x(2x+1)$$

$$8x^2+4x+1=10x^2+5x$$

$$2x^2+x-1=0$$

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=\frac12$$

Ограничения: $$x\neq 0,\; x\neq -\frac12.$$ Оба корня подходят.

в) $$\frac{2}{x^2+5x}+\frac{3}{2x-10}=\frac{15}{x^2-25}$$

$$\frac{2}{x(x+5)}+\frac{3}{2(x-5)}=\frac{15}{(x-5)(x+5)}$$

Умножим на $$2x(x+5)(x-5):$$

$$4(x-5)+3x(x+5)=30x$$

$$4x-20+3x^2+15x=30x$$

$$3x^2-11x-20=0$$

$$D=(-11)^2-4\cdot 3\cdot(-20)=361$$

$$x_{1,2}=\frac{11\pm 19}{6}$$

$$x_1=-\frac43,\quad x_2=5$$

Так как $$x\neq -5,\; x\neq 0,\; x\neq 5,$$ то подходит только $$x=-\frac43.$$

г) $$\frac{14}{x^2-4}+\frac{3}{(2-x)^2}=\frac{5}{(x+2)^2}$$

Так как $$x^2-4=(x-2)(x+2),\quad (2-x)^2=(x-2)^2,$$ получаем

$$\frac{14}{(x-2)(x+2)}+\frac{3}{(x-2)^2}=\frac{5}{(x+2)^2}$$

Умножим на $$(x-2)^2(x+2)^2:$$

$$14(x-2)(x+2)+3(x+2)^2=5(x-2)^2$$

$$14(x^2-4)+3(x^2+4x+4)=5(x^2-4x+4)$$

$$14x^2-56+3x^2+12x+12=5x^2-20x+20$$

$$12x^2+32x-64=0$$

$$3x^2+8x-16=0$$

$$D=8^2-4\cdot 3\cdot(-16)=256$$

$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 16}{6}$$

$$x_1=-4,\quad x_2=\frac43$$

Ограничения: $$x\neq -2,\; x\neq 2.$$ Оба корня подходят.

Ответ

а) $$2$$; б) $$-1,\ \frac12$$; в) $$-\frac43$$; г) $$-4,\ \frac43$$.