Упр.140 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Школьник затратил некоторую сумму денег на покупку портфеля, авторучки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, авторучка — в 2 раза дешевле, а книга — в 2,5 раза дешевле, чем на самом деле, то та же покупка стоила бы 80 р. Если бы портфель стоил в 2 раза дешевле, книга — в 3 раза дешевле, а авторучка — в 4 раза дешевле, то за ту же покупку школьник уплатил бы 120 р. Сколько стоит вся покупка и что дороже: портфель или авторучка?

Обозначим:

$$x$$ руб. — цена портфеля, $$y$$ руб. — цена авторучки, $$z$$ руб. — цена книги.

Тогда по условию получаем систему:

$$\frac{x}{5}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2{,}5}=80,$$

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=120.$$

Умножим первое уравнение на $$10$$, а второе — на $$12$$:

$$2x+5y+4z=800,$$

$$6x+3y+4z=1440.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$4x-2y=640,$$

откуда

$$2x-y=320.$$

Сложим исходные уравнения:

$$8x+8y+8z=2240,$$

значит,

$$x+y+z=280.$$

Из условия видно, что сумма всех покупок равна $$280$$ руб.

Теперь сравним цену портфеля и авторучки. Из равенства $$2x-y=320$$ получаем

$$y=2x-320.$$

Так как $$x+y+z=280$$ и все цены положительны, то $$x<280$$. Тогда

$$y=2x-320<x,$$

следовательно, портфель дороже авторучки.

Ответ: $$280$$ руб.; дороже портфель.