Упр.14 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что не является рациональным каждое из чисел: а) $$\sqrt{5}$$; б) $$2\sqrt{7}$$; в) $$\sqrt{5}+1$$; г) $$\frac{\sqrt{7}}{3}$$.

Докажем, что каждое из данных чисел не является рациональным.

1. Пусть $$\sqrt{5}=\frac{p}{q}$$, где $$p\in \mathbb{Z},\ q\in \mathbb{N}$$, а дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

   Тогда

   $$5=\frac{p^2}{q^2}, \qquad p^2=5q^2.$$

   Следовательно, $$p^2$$ делится на $$5$$, значит, $$p$$ делится на $$5$$: $$p=5k$$.

   Подставим:

   $$25k^2=5q^2, \qquad q^2=5k^2.$$

   Значит, $$q^2$$ делится на $$5$$, а значит, и $$q$$ делится на $$5$$. Но тогда дробь $$\frac{p}{q}$$ сократима, что противоречит условию.

   Следовательно, $$\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}.$$

2. Пусть $$2\sqrt{7}=\frac{p}{q}$$, где $$p\in \mathbb{Z},\ q\in \mathbb{N}$$, и дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

   Тогда

   $$\sqrt{7}=\frac{p}{2q}.$$

   Возведём в квадрат:

   $$7=\frac{p^2}{4q^2}, \qquad p^2=28q^2.$$

   Отсюда $$p^2$$ делится на $$7$$, значит, $$p$$ делится на $$7$$: $$p=7k$$.

   Тогда

   $$49k^2=28q^2, \qquad 7k^2=4q^2.$$

   Следовательно, $$q^2$$ делится на $$7$$, а значит, и $$q$$ делится на $$7$$. Получаем противоречие с несократимостью дроби $$\frac{p}{q}$$.

   Значит, $$2\sqrt{7}\notin \mathbb{Q}.$$

3. Если бы $$\sqrt{5}+1$$ было рациональным числом, то разность

   $$\left(\sqrt{5}+1\right)-1=\sqrt{5}$$

   тоже была бы рациональной, так как число $$1$$ рационально. Но это противоречит пункту а).

   Следовательно, $$\sqrt{5}+1\notin \mathbb{Q}.$$

4. Если бы $$\frac{\sqrt{7}}{3}$$ было рациональным числом, то при умножении на $$3$$ получили бы рациональное число

   $$3\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}=\sqrt{7}.$$

   Но по пункту б) число $$\sqrt{7}$$ иррационально. Противоречие.

   Следовательно, $$\frac{\sqrt{7}}{3}\notin \mathbb{Q}.$$

Ответ

$$\sqrt{5},\ 2\sqrt{7},\ \sqrt{5}+1,\ \frac{\sqrt{7}}{3}$$ — иррациональные числа.