Упр.14 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Что называют решением системы двух уравнений с двумя переменными?
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}x-3y=5,\\2^{6y-x}=\frac{1}{4};\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}5^{2x-y}=0{,}2,\\5^{y-x}=125;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}2xy=9,\\4^{x-2y}=1;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}3^{3x+y}=\sqrt{3},\\5x-4y=15.\end{cases}$$
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}x-y=4,\\\log_{2}x-\log_{2}y=1;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}3^{x-2y}=1,\\\lg x+\lg(y+5)=2;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\log_{3}(5x-y)=2,\\xy=2;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x^2+y^2=26,\\\log_{5}x=1+\log_{5}y.\end{cases}$$
1) Решением системы двух уравнений с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.
Ход решения
$$\begin{cases}x-3y=5,\\2^{6y-x}=\dfrac14.\end{cases}$$
$$\dfrac14=2^{-2},\quad 6y-x=-2,\quad x=6y+2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$6y+2-3y=5,$$
$$3y=3,\quad y=1,\quad x=6\cdot1+2=8.$$
Ответ: $$(8;\,1).$$
$$\begin{cases}5^{2x-y}=0{,}2,\\5^{y-x}=125.\end{cases}$$
$$0{,}2=5^{-1},\quad 125=5^3.$$
Тогда
$$2x-y=-1,\quad y-x=3,\quad y=x+3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2x-(x+3)=-1,$$
$$x=2,\quad y=2+3=5.$$
Ответ: $$(2;\,5).$$
$$\begin{cases}2xy=9,\\4^{x-2y}=1.\end{cases}$$
$$4^{x-2y}=1=4^0,\quad x-2y=0,\quad x=2y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2\cdot(2y)\cdot y=9,$$
$$4y^2=9,\quad y^2=\dfrac94,\quad y=\pm\dfrac32.$$
Тогда
$$x=2y=\pm3.$$
Ответ: $$( -3;\,-\dfrac32),\ (3;\,\dfrac32).$$
$$\begin{cases}3^{3x+y}=\sqrt3,\\5x-4y=15.\end{cases}$$
$$\sqrt3=3^{1/2},\quad 3x+y=\dfrac12,\quad y=\dfrac12-3x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$5x-4\left(\dfrac12-3x\right)=15,$$
$$5x-2+12x=15,$$
$$17x=17,\quad x=1,\quad y=\dfrac12-3=-\dfrac52.$$
Ответ: $$(1;\,-\dfrac52).$$
Ход решения
$$\begin{cases}x-y=4,\\\log_2 x-\log_2 y=1.\end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=x-4.$$
Из второго:
$$\log_2\dfrac{x}{y}=1,\quad \dfrac{x}{y}=2.$$
Подставим $$y=x-4$$:
$$\dfrac{x}{x-4}=2,\quad x=2x-8,\quad x=8,\quad y=4.$$
Ответ: $$(8;\,4).$$
$$\begin{cases}3^{x-2y}=1,\\\lg x+\lg(y+5)=2.\end{cases}$$
$$3^{x-2y}=1=3^0,\quad x-2y=0,\quad x=2y.$$
Из второго уравнения:
$$\lg\bigl(x(y+5)\bigr)=2,\quad x(y+5)=100.$$
Подставим $$x=2y$$:
$$2y(y+5)=100,$$
$$y^2+5y-50=0.$$
$$D=25+200=225,$$
$$y_1=\dfrac{-5-15}{2}=-10,\quad y_2=\dfrac{-5+15}{2}=5.$$
Тогда
$$x_1=2\cdot(-10)=-20,\quad x_2=2\cdot5=10.$$
С учётом области определения $$x>0$$ и $$y+5>0$$ подходит только пара $$(10;\,5).$$
Ответ: $$(10;\,5).$$
$$\begin{cases}\log_3(5x-y)=2,\\xy=2.\end{cases}$$
$$\log_3(5x-y)=\log_3 3^2,\quad 5x-y=9,\quad y=5x-9.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x(5x-9)=2,$$
$$5x^2-9x-2=0.$$
$$D=81+40=121,$$
$$x_1=\dfrac{9-11}{10}=-\dfrac15,\quad x_2=\dfrac{9+11}{10}=2.$$
Тогда
$$y_1=5\cdot\left(-\dfrac15\right)-9=-10,\quad y_2=5\cdot2-9=1.$$
Ответ: $$\left(-\dfrac15;\,-10\right),\ (2;\,1).$$
$$\begin{cases}x^2+y^2=26,\\\log_5 x=1+\log_5 y.\end{cases}$$
$$1=\log_5 5,\quad \log_5 x=\log_5 5+\log_5 y=\log_5(5y),$$
значит, $$x=5y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$25y^2+y^2=26,$$
$$26y^2=26,\quad y^2=1,\quad y=\pm1.$$
Тогда $$x=\pm5.$$
С учётом области определения $$x>0$$, $$y>0$$ получаем:
Ответ: $$(5;\,1).$$
