Упр.14 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Дайте определения точки максимума, точки минимума. Что такое экстремум функции?
2. Укажите точки максимума и точки минимума функций, графики которых изображены на рисунке 79.
3. Найдите точки максимума и точки минимума функции:
   а) $$y=(x-3)^2+2$$;
   б) $$y=\cos^2(x)$$;
   в) $$y=1-(x+2)^2$$;
   г) $$y=\sin^2(x)$$.

Точка $$x_0$$ называется точкой минимума функции $$f$$, если для всех $$x$$ из некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполнено неравенство $$f(x)\ge f(x_0)$$.

Точка $$x_0$$ называется точкой максимума функции $$f$$, если для всех $$x$$ из некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполнено неравенство $$f(x)\le f(x_0)$$.

Точками экстремума функции называются её точки максимума и точки минимума.

Ход решения

2) По графикам на рисунке 79 получаем:

• а) $$x_{\max}=3,\; x_{\max}=7;\quad x_{\min}=-1,\; x_{\min}=6;$$
• б) $$x_{\max}=\pm 4;\quad x_{\min}=1.$$

3) Найдём точки экстремума функций:

1. $$y=(x-3)^2+2.$$

   Так как $$(x-3)^2\ge 0$$, то $$y\ge 2$$. Минимум достигается при $$x=3$$.

   Ответ: $$x_{\min}=3.$$

2. $$y=\cos^2 x.$$

   Поскольку $$0\le \cos^2 x\le 1$$, то максимум равен $$1$$, а минимум равен $$0$$.

   $$\cos^2 x=1$$ при $$x=\pi n,$$

   $$\cos^2 x=0$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Ответ: $$x_{\max}=\pi n;\quad x_{\min}=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

3. $$y=1-(x+2)^2.$$

   Так как $$(x+2)^2\ge 0$$, то $$y\le 1$$. Максимум достигается при $$x=-2$$.

   Ответ: $$x_{\max}=-2.$$

4. $$y=\sin^2 x.$$

   Поскольку $$0\le \sin^2 x\le 1$$, то минимум равен $$0$$, а максимум равен $$1$$.

   $$\sin^2 x=1$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   $$\sin^2 x=0$$ при $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Ответ: $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+\pi n;\quad x_{\min}=\pi n.$$