Упр.14 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите методом математической индукции неравенство при $$n\in\mathbb{N}$$:
   а) $$|\sin(nx)|\leq n|\sin(x)|$$;
   б) $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{3n+1}>1$$;
   в) $$(1+h)^n>1+nh$$ для любого натурального $$n\geq 2$$, $$h>-1$$ и $$h\neq 0$$ (неравенство Бернулли);
   г) $$(1+h)^n>1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^2$$ для любого натурального $$n\geq 3$$ и $$h>0$$.

Докажем неравенства методом математической индукции.

а)

Докажем, что $$|\sin nx|\le n|\sin x|$$ при $$n\in \mathbb{N}.$$

База индукции: при $$n=1$$ имеем

$$|\sin x|=1\cdot |\sin x|.$$

Индукционный переход: пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$|\sin kx|\le k|\sin x|.$$

Докажем для $$n=k+1$$:

$$\begin{aligned} |\sin((k+1)x)|&=|\sin kx\cos x+\cos kx\sin x| \\ &\le |\sin kx|\,|\cos x|+|\cos kx|\,|\sin x| \\ &\le |\sin kx|+|\sin x| \\ &\le k|\sin x|+|\sin x| \\ &=(k+1)|\sin x|. \end{aligned}$$

Следовательно, $$|\sin nx|\le n|\sin x|$$ для всех $$n\in\mathbb{N}.$$

б)

Докажем, что

$$\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+1}>1.$$

База индукции: при $$n=1$$

$$\frac12+\frac13+\frac14=\frac{13}{12}>1.$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$\frac1{k+1}+\frac1{k+2}+\cdots+\frac1{3k+1}>1.$$

Тогда для $$n=k+1$$:

$$\begin{aligned} \frac1{k+2}+\frac1{k+3}+\cdots+\frac1{3k+4} &=\left(\frac1{k+1}+\frac1{k+2}+\cdots+\frac1{3k+1}\right) \\ &\quad -\frac1{k+1}+\frac1{3k+2}+\frac1{3k+3}+\frac1{3k+4}. \end{aligned}$$

По предположению индукции это больше, чем

$$1-\frac1{k+1}+\frac1{3k+2}+\frac1{3k+3}+\frac1{3k+4}.$$

Оценим добавку:

$$\frac1{3k+2}+\frac1{3k+3}+\frac1{3k+4} >\frac3{3k+4}.$$

Тогда

$$1-\frac1{k+1}+\frac3{3k+4} =1+\frac{2}{(k+1)(3k+4)}>1.$$

Значит, неравенство верно для всех $$n\in\mathbb{N}.$$

в)

Докажем неравенство Бернулли:

$$(1+h)^n>1+nh,\qquad n\ge 2,\quad h>-1,\quad h\ne 0.$$

База индукции: при $$n=2$$

$$(1+h)^2=1+2h+h^2>1+2h,$$

так как $$h^2>0$$ при $$h\ne 0.$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$(1+h)^k>1+kh.$$

Тогда

$$\begin{aligned} (1+h)^{k+1} &=(1+h)(1+h)^k \\ &>(1+h)(1+kh) \\ &=1+(k+1)h+kh^2. \end{aligned}$$

Так как $$kh^2>0,$$ то

$$(1+h)^{k+1}>1+(k+1)h.$$

Следовательно, неравенство верно для всех $$n\ge 2.$$

г)

Докажем, что

$$(1+h)^n>1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^2,\qquad n\ge 3,\quad h>0.$$

База индукции: при $$n=3$$

$$(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3>1+3h+3h^2.$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$(1+h)^k>1+kh+\frac{k(k-1)}{2}h^2.$$

Тогда

$$\begin{aligned} (1+h)^{k+1} &=(1+h)(1+h)^k \\ &>(1+h)\left(1+kh+\frac{k(k-1)}{2}h^2\right) \\ &=1+(k+1)h+\frac{k(k+1)}{2}h^2+\frac{k(k-1)}{2}h^3. \end{aligned}$$

Так как $$h>0,$$ то $$h^3>h^2,$$ значит

$$\frac{k(k-1)}{2}h^3>\frac{k(k-1)}{2}h^2.$$

Следовательно,

$$(1+h)^{k+1}>1+(k+1)h+\frac{k(k+1)}{2}h^2,$$

что и требовалось доказать.

Ответ

Все четыре неравенства доказаны методом математической индукции.