Упр.139 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Не решая уравнения $$3x^2-5x-2=0$$, найдите: а) сумму его корней; б) произведение его корней; в) сумму квадратов его корней; г) сумму кубов его корней.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$3x^2-5x-2=0$$.

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{5}{3}, \qquad x_1x_2=-\frac{2}{3}.$$

Тогда:

а) сумма корней

$$x_1+x_2=\frac{5}{3};$$

б) произведение корней

$$x_1x_2=-\frac{2}{3};$$

в) сумма квадратов корней

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 =\left(\frac{5}{3}\right)^2-2\left(-\frac{2}{3}\right) =\frac{25}{9}+\frac{12}{9} =\frac{37}{9};$$

г) сумма кубов корней

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\bigr) =(x_1+x_2)\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr)$$

$$=\frac{5}{3}\left(\frac{25}{9}-3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)\right) =\frac{5}{3}\left(\frac{25}{9}+\frac{18}{9}\right) =\frac{5}{3}\cdot\frac{43}{9} =\frac{215}{27}.$$

Ответ: а) $$\frac{5}{3}$$; б) $$-\frac{2}{3}$$; в) $$\frac{37}{9}$$; г) $$\frac{215}{27}$$.