Упр.139 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Для награждения победителей школьной олимпиады было закуплено несколько одинаковых книг и одинаковых значков. За книги заплатили 1056 р., за значки — 56 р. Книг купили на 6 штук больше, чем значков. Сколько было куплено книг? (Цены и книги, и значка в рублях — целые числа.)

Обозначим:

$$x$$ — число купленных книг, $$a$$ — цена одной книги, $$b$$ — цена одного значка.

Тогда по условию:

$$xa=1056,$$

$$\left(x-6\right)b=56.$$

Так как цены книги и значка — целые числа, то $$x$$ должно быть общим делителем чисел $$1056$$ и $$56$$, причём $$x>6$$.

Найдём такие делители. Число $$56$$ делится на $$7,8,14,28,56$$. Проверим значения $$x$$:

$$x=7 \Rightarrow a=\frac{1056}{7}$$ — не целое;

$$x=8 \Rightarrow a=\frac{1056}{8}=132,$$

$$x=14 \Rightarrow a=\frac{1056}{14}$$ — не целое;

$$x=28 \Rightarrow a=\frac{1056}{28}$$ — не целое;

$$x=56 \Rightarrow a=\frac{1056}{56}$$ — не целое.

Подходит только $$x=8$$. Тогда

$$a=\frac{1056}{8}=132,\qquad b=\frac{56}{8-6}=28.$$

Проверка:

$$8\cdot132=1056,\qquad 2\cdot28=56.$$

Ответ

$$8$$ книг.