Упр.138 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите значения $$k$$, при которых имеет один корень уравнение:
   а) $$(k-1)x^2+(k+4)x+k+7=0$$;
   б) $$9x^2-2x+k=6-kx$$;
   в) $$(2k-5)x^2-2(k-1)x+3=0$$;
   г) $$3kx^2-6x+k-2=0$$.

Уравнение имеет один корень, если:

• это квадратное уравнение и его дискриминант равен нулю;
• или старший коэффициент равен нулю, а получившееся линейное уравнение имеет один корень.

а)

$$(k-1)x^2+(k+4)x+k+7=0$$

Если $$k-1=0,$$ то $$k=1$$ и уравнение становится линейным:

$$5x+8=0,$$

у него один корень.

Если $$k\ne 1,$$ то требуем $$D=0$$:

$$D=(k+4)^2-4(k-1)(k+7)=0$$

$$k^2+8k+16-4(k^2+6k-7)=0$$

$$-3k^2-16k+44=0$$

$$3k^2+16k-44=0$$

$$k=\frac{-16\pm 28}{6}$$

$$k=-\frac{22}{3},\ 2$$

Итак, $$k=-\frac{22}{3},\ 1,\ 2.$$

б)

$$9x^2-2x+k=6-kx$$

Приведём к стандартному виду:

$$9x^2+(k-2)x+(k-6)=0$$

Тогда

$$D=(k-2)^2-4\cdot 9\cdot (k-6)=0$$

$$k^2-4k+4-36k+216=0$$

$$k^2-40k+220=0$$

$$k=\frac{40\pm \sqrt{1600-880}}{2} =\frac{40\pm \sqrt{720}}{2} =20\pm 6\sqrt5$$

Итак, $$k=20-6\sqrt5,\ 20+6\sqrt5.$$

в)

$$(2k-5)x^2-2(k-1)x+3=0$$

Если $$2k-5=0,$$ то $$k=\frac52$$ и уравнение становится линейным:

$$-3x+3=0,$$

у него один корень.

Если $$k\ne \frac52,$$ то требуем $$D=0$$:

$$D=[-2(k-1)]^2-4(2k-5)\cdot 3=0$$

$$4(k-1)^2-12(2k-5)=0$$

$$4k^2-8k+4-24k+60=0$$

$$4k^2-32k+64=0$$

$$k^2-8k+16=0$$

$$(k-4)^2=0,\quad k=4$$

Итак, $$k=\frac52,\ 4.$$

г)

$$3kx^2-6x+k-2=0$$

Если $$k=0,$$ то уравнение линейное:

$$-6x-2=0,$$

у него один корень.

Если $$k\ne 0,$$ то требуем $$D=0$$:

$$D=(-6)^2-4\cdot 3k(k-2)=0$$

$$36-12k^2+24k=0$$

$$k^2-2k-3=0$$

$$(k-3)(k+1)=0$$

$$k=3,\ -1$$

Итак, $$k=-1,\ 0,\ 3.$$

Ответ

а) $$-\frac{22}{3},\ 1,\ 2$$; б) $$20-6\sqrt5,\ 20+6\sqrt5$$; в) $$\frac52,\ 4$$; г) $$-1,\ 0,\ 3$$.