Упр.138 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Колмогоров, Абрамов, Дудницын
11 класс
Автор
Колмогоров, Абрамов, Дудницын
Упр.138 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Задача
- Три пункта $$\mathrm{А}$$, $$\mathrm{В}$$ и $$\mathrm{С}$$ соединены прямолинейными дорогами. К отрезку дороги $$\mathrm{АВ}$$ примыкает квадратное поле со стороной, равной $$\frac{1}{2}\mathrm{АВ}$$, к отрезку дороги $$\mathrm{ВС}$$ примыкает квадратное поле со стороной, равной $$\mathrm{ВС}$$, а к отрезку дороги $$\mathrm{АС}$$ примыкает прямоугольный участок леса длиной, равной $$\mathrm{АС}$$, и шириной $$4\ \text{км}$$. Площадь леса на $$20\ \text{км}^2$$ больше суммы площадей квадратных полей. Найдите площадь леса.
Подробный ответ
Обозначим:
$$AB=2x,\quad BC=y,\quad AC=z.$$
Тогда по неравенству треугольника имеем
$$2x+y\ge z,\quad 2x+z\ge y,\quad y+z\ge 2x.$$
По условию площади равны:
$$S_{\text{лес}}=4z,$$
а сумма площадей квадратных полей:
$$\left(\frac{AB}{2}\right)^2+BC^2=x^2+y^2.$$
Так как площадь леса на $$20$$ км$$^2$$ больше, получаем
$$4z=x^2+y^2+20,$$
откуда
$$z=\frac{x^2+y^2}{4}+5.$$
Подставим это в первое неравенство треугольника:
$$2x+y\ge \frac{x^2+y^2}{4}+5,$$
$$8x+4y\ge x^2+y^2+20,$$
$$x^2-8x+y^2-4y+20\le 0,$$
$$(x-4)^2+(y-2)^2\le 0.$$
Следовательно,
$$x=4,\quad y=2.$$
Тогда
$$z=\frac{4^2+2^2}{4}+5=\frac{20}{4}+5=10.$$
Искомая площадь леса:
$$S_{\text{лес}}=4z=4\cdot 10=40.$$
Ответ: $$40$$ км$$^2$$.
Другие учебники
Другие предметы