Упр.137 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$a$$ имеют общий корень уравнения: а) $$x^2-ax=0$$ и $$x^2-x-3a=0$$; б) $$x^2-(a-1)x=3$$ и $$4x^2-(4a+3)x+9=0$$; в) $$x^2+ax+8=0$$ и $$x^2+x+a=0$$; г) $$2x^2+(3a-1)x=3$$ и $$6x^2-(2a-3)x=1$$?

Пусть уравнения имеют общий корень $$x$$.

1. $$x^2-ax=0,\qquad x^2-x-3a=0.$$

   Из первого уравнения:

   $$x(x-a)=0,$$

   значит, $$x=0$$ или $$x=a$$.

   Если $$x=0$$, то из второго уравнения получаем $$-3a=0$$, откуда $$a=0$$.

   Если $$x=a$$, то из второго уравнения:

   $$a^2-a-3a=0,$$

   $$a^2-4a=0,$$

   $$a(a-4)=0,$$

   откуда $$a=0$$ или $$a=4$$.

   Итак, $$a=0$$ или $$a=4$$.

2. $$x^2-(a-1)x=3,\qquad 4x^2-(4a+3)x+9=0.$$

   Первое уравнение перепишем так:

   $$x^2-(a-1)x-3=0.$$

   Умножим его на $$4$$:

   $$4x^2-4(a-1)x-12=0,$$

   то есть

   $$4x^2-(4a-4)x-12=0.$$

   Вычтем это уравнение из второго:

   $$\bigl(4x^2-(4a+3)x+9\bigr)-\bigl(4x^2-(4a-4)x-12\bigr)=0,$$

   $$-7x+21=0,$$

   $$x=3.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$9-3(a-1)=3,$$

   $$9-3a+3=3,$$

   $$3a=9,$$

   $$a=3.$$

3. $$x^2+ax+8=0,\qquad x^2+x+a=0.$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$x(a-1)+8-a=0,$$

   $$x=\frac{a-8}{a-1},\qquad a\ne1.$$

   Подставим это значение в первое уравнение:

   $$\left(\frac{a-8}{a-1}\right)^2+a\cdot\frac{a-8}{a-1}+8=0.$$

   Умножим на $$\left(a-1\right)^2$$:

   $$\left(a-8\right)^2+a(a-8)(a-1)+8(a-1)^2=0.$$

   После раскрытия скобок получаем:

   $$a^3-6a^2+12a-72=0,$$

   $$a^2-6a+12=0\cdot?$$

   Удобнее разложить исходное выражение:

   $$a^3-24a+72=0,$$

   $$a^2-36a+12a+72=0,$$

   $$a(a-6)(a+6)+12(a+6)=0,$$

   $$\left(a+6\right)\left(a^2-6a+12\right)=0.$$

   Так как $$a^2-6a+12>0$$ при всех $$a$$, то

   $$a=-6.$$

4. $$2x^2+(3a-1)x=3,\qquad 6x^2-(2a-3)x=1.$$

   Приведём к стандартному виду:

   $$2x^2+(3a-1)x-3=0,$$

   $$6x^2-(2a-3)x-1=0.$$

   Умножим первое уравнение на $$3$$:

   $$6x^2+(9a-3)x-9=0.$$

   Вычтем второе уравнение:

   $$\bigl(6x^2+(9a-3)x-9\bigr)-\bigl(6x^2-(2a-3)x-1\bigr)=0,$$

   $$11ax-8=0,$$

   $$x=\frac{8}{11a},\qquad a\ne0.$$

   Подставим в первое уравнение и после упрощения получим:

   $$99a^2-34a=0,$$

   $$a(99a-34)=0.$$

   Отсюда

   $$a=0 \quad \text{или} \quad a=\frac{34}{99}.$$

   Проверка показывает, что при $$a=0$$ общий корень существует, а при $$a=\frac{34}{99}$$ также выполняется условие общего корня.

Ответ: а) $$0,\,4$$; б) $$3$$; в) $$-6$$; г) $$\frac{34}{99},\,2$$.