Упр.136 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Сумма цифр трехзначного числа равна $$17$$, а сумма их квадратов $$109$$. Если из данного числа вычесть $$495$$, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите число.
б) Найдите все трехзначные числа, сумма цифр которых равна $$17$$, а сумма квадратов цифр равна $$109$$.

Подробный ответ

Пусть цифры числа — $$a,\ b,\ c$$, где $$a$$ — сотни, $$b$$ — десятки, $$c$$ — единицы.

а)

По условию:

$$a+b+c=17,$$

$$a^2+b^2+c^2=109,$$

$$100a+10b+c-495=100c+10b+a.$$

Из последнего равенства получаем:

$$99a-99c=495,$$

$$a-c=5,$$

$$a=c+5.$$

Тогда

$$c+5+b+c=17,$$

$$b=12-2c.$$

Подставим в сумму квадратов:

$$(c+5)^2+(12-2c)^2+c^2=109,$$

$$c^2+10c+25+144-48c+4c^2+c^2=109,$$

$$6c^2-38c+60=0,$$

$$3c^2-19c+30=0.$$

Найдём корни:

$$D=19^2-4\cdot 3\cdot 30=361-360=1,$$

$$c=\frac{19\pm 1}{6}.$$

Подходит только $$c=3$$, тогда

$$a=3+5=8,\qquad b=12-2\cdot 3=6.$$

Искомое число: $$863.$$

б)

Ищем все трёхзначные числа, для которых

$$a+b+c=17,\qquad a^2+b^2+c^2=109.$$

Так как $$a,b,c$$ — цифры, удобно рассмотреть возможные значения старшей цифры $$a$$.

Если $$a=8$$, то
$$b+c=9,\qquad b^2+c^2=45.$$
Тогда
$$b=3,\ c=6$$ или $$b=6,\ c=3.$$
Получаем числа $$836$$ и $$863$$.
Если $$a=6$$, то
$$b+c=11,\qquad b^2+c^2=73.$$
Подходящая пара цифр: $$b=3,\ c=8$$ или $$b=8,\ c=3.$$
Получаем числа $$638$$ и $$683$$.
Если $$a=3$$, то
$$b+c=14,\qquad b^2+c^2=100.$$
Подходящая пара цифр: $$b=6,\ c=8$$ или $$b=8,\ c=6.$$
Получаем числа $$368$$ и $$386$$.

Других вариантов нет.