Упр.135 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите неравенства: а) $$\frac{|2x-3|}{x}>0$$; б) $$\frac{x+2}{|x+4|}?0$$; в) $$(x-4)|5-3x|<0$$; г) $$|2x+7|(3-x)?0$$.
а) $$\frac{|2x-3|}{x}>0.$$
Числитель $$|2x-3|$$ неотрицателен и равен нулю только при $$2x-3=0,$$ то есть при $$x=\frac32.$$
Чтобы дробь была положительной, нужно:
$$x>0,\qquad |2x-3|\neq 0.$$
Следовательно,
$$x>0,\qquad x\neq \frac32.$$
Значит,
$$x\in \left(0;\frac32\right)\cup \left(\frac32;+\infty\right).$$
б) $$\frac{x+2}{|x+4|}\le 0.$$
Знаменатель не равен нулю:
$$x+4\neq 0,\qquad x\neq -4.$$
Так как $$|x+4|>0$$ при $$x\neq -4,$$ знак дроби определяется числителем. Поэтому нужно:
$$x+2\le 0,$$
то есть
$$x\le -2.$$
С учётом области определения получаем:
$$x\in (-\infty;-4)\cup (-4;-2].$$
в) $$(x-4)|5-3x|<0.$$
Модуль $$|5-3x|$$ неотрицателен и равен нулю только при
$$5-3x=0,\qquad x=\frac53.$$
Чтобы произведение было отрицательным, нужно, чтобы
$$x-4<0,$$
и одновременно
$$|5-3x|>0.$$
Отсюда
$$x<4,\qquad x\neq \frac53.$$
Следовательно,
$$x\in \left(-\infty;\frac53\right)\cup \left(\frac53;4\right).$$
г) $$|2x+7|(3-x)\le 0.$$
Так как $$|2x+7|\ge 0,$$ то произведение не положительно, если:
- $$|2x+7|=0,$$ то есть $$2x+7=0,\quad x=-\frac72;$$
- или $$3-x\le 0,$$ то есть $$x\ge 3.$$
Итак,
$$x\in \left\{-\frac72\right\}\cup [3;+\infty).$$
Ответ
а) $$\left(0;\frac32\right)\cup \left(\frac32;+\infty\right);$$ б) $$(-\infty;-4)\cup (-4;-2];$$ в) $$\left(-\infty;\frac53\right)\cup \left(\frac53;4\right);$$ г) $$\left\{-\frac72\right\}\cup [3;+\infty).$$
