Упр.135 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Две точки двигаются по окружности длиной $$1{,}2\ \text{м}$$ с постоянными скоростями. Если они двигаются в разных направлениях, то встречаются через каждые $$15\ \text{с}$$. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждые $$60\ \text{с}$$. Найдите скорость каждой точки.

Обозначим скорости точек через $$x$$ и $$y$$ м/мин.

Если точки движутся в разных направлениях, то за $$15$$ с, то есть за $$\frac14$$ мин, они вместе проходят длину окружности $$1{,}2$$ м:

$$\frac{x+y}{4}=1{,}2.$$

Отсюда

$$x+y=4{,}8.$$

Если точки движутся в одном направлении, то одна догоняет другую через $$60$$ с, то есть через $$1$$ мин. За это время более быстрая точка проходит на $$1{,}2$$ м больше, чем медленная:

$$x-y=1{,}2.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x+y=4{,}8,\\ x-y=1{,}2. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$2x=6,$$

$$x=3.$$

Тогда

$$y=4{,}8-3=1{,}8.$$

Ответ: $$3$$ м/мин и $$1{,}8$$ м/мин.