Упр.134 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

• а) $$\begin{cases} x^3+y^3-z^3-xyz=-4,\\ x^3-y^3+z^3-xyz=8,\\ -x^3+y^3+z^3-xyz=-2; \end{cases}$$
  б) $$\begin{cases} 4x^2+4y+1=0,\\ 4y^2+4z+1=0,\\ 4z^2+4x+1=0; \end{cases}$$
  в) $$\begin{cases} x+y+z=4,\\ x^2+y^2+z^2=14,\\ xy+xz+yz=9; \end{cases}$$
  г) $$\begin{cases} x^2+xy+y^2=37,\\ x^2+xz+z^2=28,\\ y^2+yz+z^2=19. \end{cases}$$

а) Обозначим

$$\begin{cases} x^3+y^3-z^3-xyz=-4,\\ x^3-y^3+z^3-xyz=8,\\ -x^3+y^3+z^3-xyz=-2. \end{cases}$$

Вычтем третье уравнение из первого и второго:

$$\begin{aligned} 2x^3-2z^3&=-2, & z^3&=x^3+1,\\ 2x^3-2y^3&=10, & y^3&=x^3-5. \end{aligned}$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^3+(x^3-5)-(x^3+1)-xyz=-4,$$
$$x^3-6-xyz=-4,$$
$$xyz=x^3-2.$$

С другой стороны,

$$xyz=\sqrt[3]{x^3\cdot y^3\cdot z^3} =\sqrt[3]{x^3(x^3-5)(x^3+1)}.$$

Тогда

$$x^3-2=\sqrt[3]{x^3(x^3-5)(x^3+1)}.$$

Возведём в куб:

$$(x^3-2)^3=x^3(x^3-5)(x^3+1).$$

Положим $$t=x^3$$. Получаем:

$$(t-2)^3=t(t-5)(t+1),$$
$$t^3-6t^2+12t-8=t^3-4t^2-5t,$$
$$2t^2-17t+8=0.$$

$$D=17^2-4\cdot 2\cdot 8=225,$$
$$t_1=\frac{17-15}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{17+15}{4}=8.$$

1) Если $$x^3=\frac12$$, то

$$y^3=\frac12-5=-\frac92,\qquad z^3=\frac12+1=\frac32.$$

Значит,

$$x=\frac1{\sqrt[3]{2}},\qquad y=-\sqrt[3]{\frac92},\qquad z=\sqrt[3]{\frac32}.$$

2) Если $$x^3=8$$, то

$$y^3=8-5=3,\qquad z^3=8+1=9.$$

Значит,

$$x=2,\qquad y=\sqrt[3]{3},\qquad z=\sqrt[3]{9}.$$

б)

$$\begin{cases} 4x^2+4y+1=0,\\ 4y^2+4z+1=0,\\ 4z^2+4x+1=0. \end{cases}$$

Сложим все три уравнения:

$$4x^2+4y+1+4y^2+4z+1+4z^2+4x+1=0,$$
$$(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=0.$$

Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$2x+1=0,\qquad 2y+1=0,\qquad 2z+1=0.$$

$$x=y=z=-\frac12.$$

в)

$$\begin{cases} x+y+z=4,\\ x^2+y^2+z^2=14,\\ xy+xz+yz=9. \end{cases}$$

Возведём в квадрат первое уравнение:

$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz).$$

Подставим данные:

$$16=14+2\cdot 9=32.$$

Получили противоречие, значит, система не имеет решений.

г)

$$\begin{cases} x^2+xy+y^2=37,\\ x^2+xz+z^2=28,\\ y^2+yz+z^2=19. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго и третьего:

$$z^2-y^2+xz-xy= -9,$$
$$y^2-x^2+yz-xz= -18.$$

Удобнее переписать исходные уравнения в виде:

$$x^3-y^3=37(x-y),\qquad z^3-x^3=28(z-x),\qquad y^3-z^3=19(y-z).$$

Сложим их:

$$37(x-y)+28(z-x)+19(y-z)=0,$$
$$9x-18y+9z=0,$$
$$z=2y-x.$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$x^2+x(2y-x)+(2y-x)^2=28.$$

После упрощения получаем квадратное уравнение относительно $$x$$ и $$y$$, из которого следуют два случая:

$$x=\frac{4y}{3},\qquad z=\frac{2y}{3}$$
или
$$x=\frac{10y}{3},\qquad z=-8y.$$

1) Если $$x=\frac{4y}{3}$$ и $$z=\frac{2y}{3}$$, то из первого уравнения:

$$\frac{16y^2}{9}+\frac{4y^2}{3}+y^2=37,$$
$$\frac{37y^2}{9}=37,$$
$$y^2=9,\qquad y=\pm 3.$$

Тогда получаем решения:

$$(-4,-3,-2),\qquad (4,3,2).$$

2) Если $$x=\frac{10y}{3}$$ и $$z=-8y$$, то из первого уравнения:

$$\frac{100y^2}{9}+\frac{10y^2}{3}+y^2=37,$$
$$111y^2=37,$$
$$y^2=\frac13,\qquad y=\pm \frac1{\sqrt3}.$$

Тогда получаем решения:

$$\left(-\frac{10}{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3},\frac8{\sqrt3}\right),\qquad \left(\frac{10}{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},-\frac8{\sqrt3}\right).$$

Ответ

а) $$\left(\frac1{\sqrt[3]{2}},-\sqrt[3]{\frac92},\sqrt[3]{\frac32}\right),\ (2,\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{9})$$;
б) $$\left(-\frac12,-\frac12,-\frac12\right)$$;
в) решений нет;
г) $$\left(-\frac{10}{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3},\frac8{\sqrt3}\right),\ (-4,-3,-2),\ \left(\frac{10}{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},-\frac8{\sqrt3}\right),\ (4,3,2)$$.