Упр.133 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

а) $$\begin{cases}2x\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)=15,\\3y\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)=20,\\6z\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=13;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\frac{xy}{x+y}=\frac{6}{5},\\\frac{xz}{x+z}=\frac{3}{4},\\\frac{zy}{z+y}=\frac{2}{3}.\end{cases}$$

Пусть для первого пункта

$$a=\frac{xy}{z},\quad b=\frac{xz}{y},\quad c=\frac{yz}{x}.$$

Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} 2a+2b=15,\\ 3a+3c=20,\\ 6b+6c=13. \end{cases}$$

Из первого уравнения

$$a+b=\frac{15}{2}.$$

Из второго

$$a+c=\frac{20}{3}.$$

Из третьего

$$b+c=\frac{13}{6}.$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$c-b=\frac{20}{3}-\frac{15}{2}=\frac{40-45}{6}=-\frac{5}{6}.$$

Сложим это с уравнением $$b+c=\frac{13}{6}$$:

$$2c=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},\quad c=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$b=\frac{13}{6}-\frac{2}{3}=\frac{13}{6}-\frac{4}{6}=\frac{3}{2},$$

$$a=\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6.$$

Теперь

$$\frac{xy}{z}=6,\quad \frac{xz}{y}=\frac{3}{2},\quad \frac{yz}{x}=\frac{2}{3}.$$

Из $$\frac{xy}{z}=6$$ получаем

$$\frac{x}{z}=\frac{6}{y}.$$

Из $$\frac{yz}{x}=\frac{2}{3}$$ имеем

$$\frac{y}{x}=\frac{2}{3z}.$$

Удобнее выразить переменные через $$y$$. Из $$\frac{yz}{x}=\frac{2}{3}$$:

$$x=\frac{3yz}{2}.$$

Подставим в $$\frac{xy}{z}=6$$:

$$\frac{3yz}{2}\cdot \frac{y}{z}=6,$$

$$\frac{3y^2}{2}=6,$$

$$y^2=4,\quad y=\pm 2.$$

Если $$y=2$$, то из $$x=\frac{3yz}{2}$$ получаем $$x=3z$$. Подставим в $$\frac{xz}{y}=\frac{3}{2}$$:

$$\frac{3z\cdot z}{2}=\frac{3}{2},$$

$$z^2=1,\quad z=\pm 1.$$

Тогда $$x=3z$$, то есть $$x=\pm 3$$. Получаем пары:

$$(3;2;1),\quad (-3;2;-1).$$

Если $$y=-2$$, то $$x=-3z$$. Из $$\frac{xz}{y}=\frac{3}{2}$$ снова получаем $$z^2=1$$, значит $$z=\pm 1$$, и тогда

$$(3;-2;-1),\quad (-3;-2;1).$$

Для второго пункта положим

$$a=\frac{1}{x},\quad b=\frac{1}{y},\quad c=\frac{1}{z}.$$

Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} a+b=\frac{5}{6},\\ a+c=\frac{4}{3},\\ b+c=\frac{2}{3}. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$c-b=\frac{4}{3}-\frac{5}{6}=\frac{8-5}{6}=\frac{1}{2}.$$

Сложим с третьим уравнением:

$$2c=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6},\quad c=\frac{7}{12}.$$

Тогда

$$b=\frac{2}{3}-\frac{7}{12}=\frac{8-7}{12}=\frac{1}{12},$$

$$a=\frac{5}{6}-\frac{1}{12}=\frac{10-1}{12}=\frac{3}{4}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{1}{a}=\frac{4}{3},\quad y=\frac{1}{b}=12,\quad z=\frac{1}{c}=\frac{12}{7}.$$

Ответ: а) $$(3;2;1),\ (-3;2;-1),\ (3;-2;-1),\ (-3;-2;1)$$; б) $$\left(\frac{4}{3};12;\frac{12}{7}\right).$$