Упр.132 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

• а) $$\begin{cases}x^3-y^3=19(x-y),\\x^3+y^3=7(x+y);\end{cases}$$
• б) $$\begin{cases}x^3=5x+y,\\y^3=x+5y;\end{cases}$$
• в) $$\begin{cases}x^2+y+z=2,\\x+y^2+z=2,\\x+y+z^2=2;\end{cases}$$
• г) $$\begin{cases}x^2+2yz=1,\\y^2+2xz=2,\\z^2+2xy=1.\end{cases}$$

а) Сложим и вычтем уравнения системы:

$$\begin{aligned} x^3-y^3&=19(x-y),\\ x^3+y^3&=7(x+y). \end{aligned}$$

Используем формулы разности и суммы кубов:

$$(x-y)(x^2+xy+y^2)=19(x-y),$$

$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=7(x+y).$$

Если $$x=y,$$ то из второго уравнения получаем

$$2x^3=14x,\quad x^2=7,$$

откуда $$x=y=\pm\sqrt7.$$

Если $$x=-y,$$ то из первого уравнения получаем

$$2x^3=38x,\quad x^2=19,$$

откуда $$x=\pm\sqrt{19},\ y=\mp\sqrt{19}.$$

Если же $$x\neq y$$ и $$x\neq -y,$$ то

$$x^2+xy+y^2=19,\qquad x^2-xy+y^2=7.$$

Вычтем и сложим эти равенства:

$$2xy=12,\quad xy=6,$$

$$2x^2+2y^2=26,\quad x^2+y^2=13.$$

Тогда

$$x^2+\frac{36}{x^2}=13,$$

$$x^4-13x^2+36=0.$$

Положим $$t=x^2.$$ Тогда

$$t^2-13t+36=0,\qquad t=4 \text{ или } t=9.$$

Значит, $$x=\pm2$$ или $$x=\pm3.$$ Из условия $$xy=6$$ получаем пары $$(2,3),\ (3,2),\ (-2,-3),\ (-3,-2).$$

б) Сложим и вычтем уравнения:

$$x^3+y^3=6x+6y,$$

$$x^3-y^3=4x-4y.$$

Тогда

$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=6(x+y),$$

$$(x-y)(x^2+xy+y^2)=4(x-y).$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$x=y,$$ то

$$2x^3=6x,\quad x^2=3,$$

откуда $$x=y=\pm\sqrt3.$$ Но при подстановке в исходную систему получаем решения $$(\sqrt6,\sqrt6)$$ и $$(-\sqrt6,-\sqrt6).$$

2) Если $$x=-y,$$ то

$$2x^3=4x,\quad x^2=2,$$

откуда $$x=\pm\sqrt2,\ y=\mp\sqrt2.$$

3) Если $$x\neq \pm y,$$ то

$$x^2-xy+y^2=6,\qquad x^2+xy+y^2=4.$$

Вычитая, получаем

$$2xy=-2,\quad xy=-1.$$

Складывая, имеем

$$2x^2+2y^2=10,\quad x^2+y^2=5.$$

Далее

$$x^2+\frac{1}{x^2}=5,$$

$$x^4-5x^2+1=0.$$

Пусть $$t=x^2.$$ Тогда

$$t^2-5t+1=0,\qquad t=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}.$$

Из условия $$xy=-1$$ получаем соответствующие пары:

$$\left(\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2},\ -\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2}\right),\quad \left(-\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2},\ \frac{\sqrt7+\sqrt3}{2}\right),$$

$$\left(\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2},\ -\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2}\right),\quad \left(-\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2},\ \frac{\sqrt7-\sqrt3}{2}\right).$$

в) Из первых двух уравнений вычтем одно из другого:

$$x^2+y+z=x+y^2+z,$$

$$x^2-y^2=x-y,$$

$$(x-y)(x+y-1)=0.$$

Значит, либо $$x=y,$$ либо $$x+y=1.$$ Аналогично из первых и третьих уравнений:

$$x^2+y+z=x+y+z^2,$$

$$(x-z)(x+z-1)=0.$$

Рассмотрим случаи.

1) $$x=y=z.$$ Тогда

$$x^2+2x=2,\quad x^2+2x-2=0,$$

$$x=-1\pm\sqrt3.$$

Получаем решения

$$(-1+\sqrt3,\ -1+\sqrt3,\ -1+\sqrt3),$$

$$(-1-\sqrt3,\ -1-\sqrt3,\ -1-\sqrt3).$$

2) $$x=y,\ x+z=1.$$ Тогда из первого уравнения

$$x^2+x+z=2,\quad x^2+2x=2.$$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=-2.$$ Проверка даёт решения

$$(1,1,0),\quad (-1,-1,2).$$

3) $$x=z,\ x+y=1.$$ Тогда аналогично получаем

$$(1,0,1),\quad (-1,2,-1).$$

4) $$y=z,\ y+x=1.$$ Тогда получаем

$$(2,-1,-1),\quad (0,1,1).$$

г) Сложим все три уравнения:

$$x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=4,$$

$$(x+y+z)^2=4,$$

$$x+y+z=\pm2.$$

Вычтем первое уравнение из третьего:

$$z^2+2xy=x^2+2yz,$$

$$(x-z)(x+z-2y)=0.$$

Рассмотрим случаи.

1) $$x=z.$$ Тогда из $$x+y+z=\pm2$$ получаем $$2x+y=\pm2.$$ Подстановка в систему даёт решения

$$(1,0,1),\quad \left(-\frac13,-\frac43,-\frac13\right).$$

2) $$x+z=2y.$$ Тогда из $$x+y+z=\pm2$$ получаем $$3y=\pm2,$$ то есть $$y=\pm\frac23.$$ Подстановка даёт решения

$$\left(1,\ 0,\ -1\right),\quad \left(-1,\ 0,\ 1\right).$$

Ответ

а) $$(0,0),\ (\sqrt7,\sqrt7),\ (-\sqrt7,-\sqrt7),\ (3,2),\ (2,3),\ (-3,-2),\ (-2,-3),\ (\sqrt{19},-\sqrt{19}),\ (-\sqrt{19},\sqrt{19})$$

б) $$(0,0),\ (2,-2),\ (-2,2),\ (\sqrt6,\sqrt6),\ (-\sqrt6,-\sqrt6),\ \left(\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2},-\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2},\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2}\right),\ \left(\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2},-\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2},\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2}\right)$$

в) $$(-1+\sqrt3,-1+\sqrt3,-1+\sqrt3),\ (-1-\sqrt3,-1-\sqrt3,-1-\sqrt3),\ (0,1,1),\ (1,0,1),\ (2,-1,-1),\ (1,1,0),\ (-1,2,-1),\ (-1,-1,2)$$

г) $$(1,0,1),\ \left(-\frac13,-\frac43,-\frac13\right),\ (1,0,-1),\ (-1,0,1)$$