Упр.132 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$x_1,x_2\in[-1;1]$$ и $$x_1<x_2.$$

а) Докажем, что $$\arcsin x_1<\arcsin x_2.$$

Обозначим

$$t_1=\arcsin x_1,\qquad t_2=\arcsin x_2.$$

Тогда

$$x_1=\sin t_1,\qquad x_2=\sin t_2,$$

причём $$t_1,t_2\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Из неравенства $$x_1<x_2$$ получаем

$$\sin t_1<\sin t_2.$$

Функция $$\sin x$$ возрастает на промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],$$ значит,

$$t_1<t_2.$$

Следовательно,

$$\arcsin x_1<\arcsin x_2.$$

б) Докажем, что $$\arccos x_1>\arccos x_2.$$

Обозначим

$$t_1=\arccos x_1,\qquad t_2=\arccos x_2.$$

Тогда

$$x_1=\cos t_1,\qquad x_2=\cos t_2,$$

причём $$t_1,t_2\in[0;\pi].$$

Из неравенства $$x_1<x_2$$ получаем

$$\cos t_1<\cos t_2.$$

Функция $$\cos x$$ убывает на промежутке $$[0;\pi],$$ значит,

$$t_1>t_2.$$

Следовательно,

$$\arccos x_1>\arccos x_2.$$

Ответ

$$x_1<x_2 \Rightarrow \arcsin x_1<\arcsin x_2,\qquad \arccos x_1>\arccos x_2.$$