Упр.131 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

а) $$\begin{cases} x^2-y^2=3,\\ x^2+xy+y^2=7; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \dfrac{(x^2+y^2)x}{y}=6,\\ (x^2-y^2)y=x. \end{cases}$$

а) Сложим и вычтем уравнения системы:

$$\begin{cases} x^2-y^2=3,\\ x^2+xy+y^2=7. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$7$$, второе — на $$3$$:

$$\begin{cases} 7x^2-7y^2=21,\\ 3x^2+3xy+3y^2=21. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$4x^2-3xy-10y^2=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$4x^2-3yx-10y^2=0.$$

Тогда

$$D=(3y)^2-4\cdot 4\cdot(-10y^2)=9y^2+160y^2=169y^2.$$

Следовательно,

$$x=\frac{3y\pm 13y}{8}.$$

Получаем два случая:

$$x=-\frac{5y}{4}\quad \text{или}\quad x=2y.$$

1) Если $$x=-\frac{5y}{4},$$ то из первого уравнения:

$$\frac{25y^2}{16}-y^2=3,$$

$$\frac{9y^2}{16}=3,\qquad y^2=\frac{16}{3}.$$

Тогда

$$y=\pm \frac{4}{\sqrt{3}},\qquad x=\mp \frac{5}{\sqrt{3}}.$$

2) Если $$x=2y,$$ то из первого уравнения:

$$4y^2-y^2=3,$$

$$3y^2=3,\qquad y^2=1.$$

Тогда

$$y=\pm 1,\qquad x=\pm 2.$$

Итак,

$$(x,y)=\left(-\frac{5}{\sqrt{3}},\frac{4}{\sqrt{3}}\right),\left(\frac{5}{\sqrt{3}},-\frac{4}{\sqrt{3}}\right),(-2,-1),(2,1).$$

б) Из второго уравнения системы

$$(x^2-y^2)y=x$$

получаем, что $$y\neq 0$$ и $$x\neq 0$$. Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{(x^2+y^2)\dfrac{x}{y}}{(x^2-y^2)y}=\frac{6}{x},$$

что после преобразований даёт

$$x^4-5x^2y^2+6y^4=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x^2$$:

$$x^4-5y^2x^2+6y^4=0.$$

Тогда

$$D=(5y^2)^2-4\cdot 1\cdot 6y^4=25y^4-24y^4=y^4,$$

и

$$x^2=\frac{5y^2\pm y^2}{2}.$$

Получаем:

$$x^2=2y^2 \quad \text{или} \quad x^2=3y^2.$$

1) Если $$x^2=2y^2,$$ то из второго уравнения:

$$(2y^2-y^2)y=x,$$

$$y^3=x.$$

Подставим в $$x^2=2y^2$$:

$$y^6=2y^2,\qquad y^4=2.$$

Значит,

$$y=\pm \sqrt[4]{2},\qquad x=\pm \sqrt[4]{8}.$$

2) Если $$x^2=3y^2,$$ то из второго уравнения:

$$(3y^2-y^2)y=x,$$

$$2y^3=x.$$

Подставим в $$x^2=3y^2$$:

$$4y^6=3y^2,\qquad y^4=\frac{3}{4}.$$

Следовательно,

$$y=\pm \sqrt[4]{\frac{3}{4}},\qquad x=\pm \sqrt[4]{\frac{27}{4}}.$$

Итак,

$$(x,y)=\left(-\sqrt[4]{8},-\sqrt[4]{2}\right),\left(\sqrt[4]{8},\sqrt[4]{2}\right),\left(-\sqrt[4]{\frac{27}{4}},-\sqrt[4]{\frac{3}{4}}\right),\left(\sqrt[4]{\frac{27}{4}},\sqrt[4]{\frac{3}{4}}\right).$$

Ответ

а) $$\left(-\frac{5}{\sqrt{3}},\frac{4}{\sqrt{3}}\right),\left(\frac{5}{\sqrt{3}},-\frac{4}{\sqrt{3}}\right),(-2,-1),(2,1).$$

б) $$\left(-\sqrt[4]{8},-\sqrt[4]{2}\right),\left(\sqrt[4]{8},\sqrt[4]{2}\right),\left(-\sqrt[4]{\frac{27}{4}},-\sqrt[4]{\frac{3}{4}}\right),\left(\sqrt[4]{\frac{27}{4}},\sqrt[4]{\frac{3}{4}}\right).$$