Упр.130 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите системы уравнений:
- а) $$\begin{cases}x^2-2xy-3y^2=0,\\x^2-2x+y^2=6;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}x+y=z,\\y^2+z^2=13x^2,\\2(x^2+z^2)=zy^2.\end{cases}$$
а) Из первого уравнения
$$x^2-2xy-3y^2=0$$
получаем квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$x^2-2yx-3y^2=0.$$
Его корни:
$$D=(2y)^2+12y^2=16y^2,$$
$$x_{1,2}=\frac{2y\pm 4y}{2},$$
то есть
$$x=-y \quad \text{или} \quad x=3y.$$
1) Если $$x=-y,$$
то из второго уравнения
$$x^2-2x+y^2=6$$
получаем
$$y^2+2y+y^2=6,$$
$$2y^2+2y-6=0,$$
$$y^2+y-3=0.$$
Тогда
$$D=1+12=13,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}.$$
Следовательно,
$$x=-y=\frac{1\mp \sqrt{13}}{2}.$$
2) Если $$x=3y,$$
то из второго уравнения
$$9y^2-6y+y^2=6,$$
получаем
$$10y^2-6y-6=0,$$
$$5y^2-3y-3=0.$$
Тогда
$$D=9+60=69,$$
$$y=\frac{3\pm \sqrt{69}}{10},$$
а значит
$$x=3y=\frac{3(3\pm \sqrt{69})}{10}.$$
б) Из первого уравнения
$$x+y=z.$$
Подставим это во второе:
$$y^2+z^2=13x^2,$$
$$y^2+(x+y)^2=13x^2,$$
$$2y^2+2xy-12x^2=0,$$
$$y^2+xy-6x^2=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$y$$:
$$D=x^2+24x^2=25x^2,$$
$$y_{1,2}=\frac{-x\pm 5x}{2}.$$
Значит,
$$y=-3x \quad \text{или} \quad y=2x.$$
1) Если $$y=-3x,$$
то
$$z=x+y=-2x.$$
Подставим в третье уравнение:
$$2(x^2+z^2)=zy^2,$$
$$2(x^2+4x^2)=-2x\cdot 9x^2,$$
$$10x^2=-18x^3.$$
Отсюда
$$x=-\frac{5}{9}.$$
Тогда
$$y=\frac{5}{3}, \quad z=\frac{10}{9}.$$
2) Если $$y=2x,$$
то
$$z=x+y=3x.$$
Подставим в третье уравнение:
$$2(x^2+z^2)=zy^2,$$
$$2(x^2+9x^2)=3x\cdot 4x^2,$$
$$20x^2=12x^3.$$
Отсюда
$$x=\frac{5}{3}.$$
Тогда
$$y=\frac{10}{3}, \quad z=5.$$
Кроме того, при $$x=0$$ получаем $$y=0$$ и $$z=0$$.
Ответ
а) $$\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2};-\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right),\ \left(\frac{1-\sqrt{13}}{2};-\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right),\ \left(\frac{3(3-\sqrt{69})}{10};\frac{3-\sqrt{69}}{10}\right),\ \left(\frac{3(3+\sqrt{69})}{10};\frac{3+\sqrt{69}}{10}\right).$$
б) $$\left(0;0;0\right),\ \left(-\frac{5}{9};\frac{5}{3};\frac{10}{9}\right),\ \left(\frac{5}{3};\frac{10}{3};5\right).$$
