Упр.13 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Какие уравнения называют иррациональными?
- Решите уравнения:
а) $$\sqrt{x-3}=2x-7$$;
б) $$(2x+3)^{\frac{1}{3}}=2$$;
в) $$x-\sqrt{x}=12$$;
г) $$x+3=\sqrt{33+x^2}$$. - Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=3,\\x-y=9;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x+y-\sqrt{xy}=6,\\xy=16;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\x-y=8;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x^2+y=7,\\x^2y=12.\end{cases}$$
1) Иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.
Ход решения
$$\sqrt{x-3}=2x-7$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x-3=4x^2-28x+49$$
$$4x^2-29x+52=0$$
$$D=29^2-4\cdot 4\cdot 52=841-832=9$$
$$x_{1,2}=\frac{29\pm 3}{8}$$
$$x_1=\frac{13}{4},\quad x_2=4$$
Проверка ОДЗ: $$x\ge 3,\quad 2x-7\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac{7}{2}.$$
Подходит только $$x=4$$.
$$\sqrt[3]{2x+3}=2$$
Возведём обе части в куб:
$$2x+3=8$$
$$x=\frac{5}{2}$$
$$x-\sqrt{x}=12$$
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$x=t^2$$. Получаем:
$$t^2-t=12$$
$$t^2-t-12=0$$
$$\left(t-4\right)\left(t+3\right)=0$$
Так как $$t=\sqrt{x}\ge 0$$, то $$t=4$$.
$$x=4^2=16$$
$$x+3=\sqrt{33+x^2}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2+6x+9=33+x^2$$
$$6x=24$$
$$x=4$$
Ход решения
$$\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=3,\\ x-y=9.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=9$$
Так как $$\sqrt{x}-\sqrt{y}=3$$, то
$$3(\sqrt{x}+\sqrt{y})=9$$
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=3$$
Решаем систему:
$$\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=3,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=3.\end{cases}$$
$$2\sqrt{x}=6,\quad \sqrt{x}=3,\quad x=9$$
$$\sqrt{y}=0,\quad y=0$$
Ответ: $$\left(9;0\right)$$.
$$\begin{cases}x+y-\sqrt{xy}=6,\\ xy=16.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$\sqrt{xy}=4$$
Тогда из первого:
$$x+y-4=6,\quad x+y=10$$
Ищем числа с суммой $$10$$ и произведением $$16$$:
$$t^2-10t+16=0$$
$$D=100-64=36$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}$$
$$t_1=2,\quad t_2=8$$
Следовательно,
$$\left(x,y\right)=\left(2,8\right),\ \left(8,2\right)$$
$$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\ x-y=8.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=8$$
Так как $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=4$$, то
$$4(\sqrt{x}-\sqrt{y})=8$$
$$\sqrt{x}-\sqrt{y}=2$$
Решаем систему:
$$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=2.\end{cases}$$
$$2\sqrt{x}=6,\quad \sqrt{x}=3,\quad x=9$$
$$\sqrt{y}=1,\quad y=1$$
Ответ: $$\left(9;1\right)$$.
$$\begin{cases}x^2+y=7,\\ x^2y=12.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=\frac{12}{x^2}$$
Подставим в первое:
$$x^2+\frac{12}{x^2}=7$$
$$x^4-7x^2+12=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-7t+12=0$$
$$\left(t-3\right)\left(t-4\right)=0$$
$$t=3 \text{ или } t=4$$
Значит,
$$x^2=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt{3},\quad y=\frac{12}{3}=4$$
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2,\quad y=\frac{12}{4}=3$$
Ответ: $$\left(-\sqrt{3};4\right),\ \left(\sqrt{3};4\right),\ \left(-2;3\right),\ \left(2;3\right)$$.
Ответ
1) Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.
2) а) $$4$$; б) $$\frac{5}{2}$$; в) $$16$$; г) $$4$$.
3) а) $$\left(9;0\right)$$; б) $$\left(2;8\right),\ \left(8;2\right)$$; в) $$\left(9;1\right)$$; г) $$\left(-\sqrt{3};4\right),\ \left(\sqrt{3};4\right),\ \left(-2;3\right),\ \left(2;3\right)$$.
