Упр.13 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Сформулируйте определение функции, возрастающей (убывающей) на множестве Р.
- Найдите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображён на рисунке 79.
- Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) $$y=1+0{,}5\cos(x);$$
б) $$y=-\frac{3}{x-1};$$
в) $$y=2x^2+4x;$$
г) $$y=1{,}5\sin(x)-1.$$
1) Функция $$f(x)$$ возрастает на множестве $$P$$, если для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из этого множества, таких что $$x_2>x_1$$, выполняется неравенство $$f(x_2)>f(x_1)$$.
Функция $$f(x)$$ убывает на множестве $$P$$, если для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из этого множества, таких что $$x_2>x_1$$, выполняется неравенство $$f(x_2)<f(x_1)$$.
2) По графику на рисунке 79:
- возрастает на $$[-1; 3] \cup [6; 7]$$;
- убывает на $$[-5; -1] \cup [3; 6] \cup [7; 8]$$.
3) Промежутки монотонности:
- $$y=1+0{,}5\cos x$$
Так как функция $$\cos x$$ возрастает на $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n]$$ и убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$, то и функция $$y=1+0{,}5\cos x$$ имеет те же промежутки монотонности.
Возрастает на $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n]$$, убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.
- $$y=-\dfrac{3}{x-1}$$
Область определения: $$x\ne 1$$. Производная:
$$y’=\dfrac{3}{(x-1)^2}>0$$ при $$x\ne 1$$.
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и $$(1;+\infty)$$.
- $$y=2x^2+4x=2(x+1)^2-2$$
Это парабола с ветвями вверх, вершина имеет абсциссу $$x=-1$$.
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty)$$.
- $$y=1{,}5\sin x-1$$
Так как функция $$\sin x$$ возрастает на $$\left[-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$, то и функция $$y=1{,}5\sin x-1$$ имеет те же промежутки монотонности.
Возрастает на $$\left[-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.
