Упр.13 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите равенства методом математической индукции ($$n\in\mathbb{N}$$): а) $$\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\ldots+\frac{1}{(n+3)(n+4)}=\frac{n}{4(n+4)}$$; б) $$2^2+6^2+\ldots+(4n-2)^2=\frac{4n(2n-1)(2n+1)}{3}$$; в) $$\frac{7}{1\cdot8}+\frac{7}{8\cdot15}+\frac{7}{15\cdot22}+\ldots+\frac{7}{(7n-6)(7n+1)}=1-\frac{1}{7n+1}$$; г) $$\frac{1}{4\cdot8}+\frac{1}{8\cdot12}+\frac{1}{12\cdot16}+\ldots+\frac{1}{4n(4n+4)}=\frac{1}{16}-\frac{1}{16(n+1)}$$.

Докажем равенства методом математической индукции.

а)

Пусть

$$S_n=\frac1{4\cdot5}+\frac1{5\cdot6}+\frac1{6\cdot7}+\cdots+\frac1{(n+3)(n+4)}.$$

База индукции: при $$n=1$$

$$S_1=\frac1{4\cdot5}=\frac1{20}=\frac1{4(1+4)}.$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$S_k=\frac{k}{4(k+4)}.$$

Тогда

$$S_{k+1}=S_k+\frac1{(k+4)(k+5)} =\frac{k}{4(k+4)}+\frac1{(k+4)(k+5)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S_{k+1}=\frac{k(k+5)+4}{4(k+4)(k+5)} =\frac{k^2+5k+4}{4(k+4)(k+5)} =\frac{(k+1)(k+4)}{4(k+4)(k+5)} =\frac{k+1}{4(k+5)}.$$

Значит, формула верна для $$n=k+1$$. Следовательно, она верна для всех $$n\in\mathbb N$$.

б)

Пусть

$$T_n=2^2+6^2+\cdots+(4n-2)^2.$$

База индукции: при $$n=1$$

$$T_1=2^2=4=\frac{4\cdot1\cdot(2\cdot1-1)(2\cdot1+1)}{3}.$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$T_k=\frac{4k(2k-1)(2k+1)}{3}.$$

Тогда

$$T_{k+1}=T_k+(4k+2)^2 =\frac{4k(2k-1)(2k+1)}{3}+(4k+2)^2.$$

Преобразуем:

$$T_{k+1} =\frac{4k(4k^2-1)}{3}+\frac{(4k+2)^2\cdot3}{3} =\frac{16k^3-4k+48k^2+48k+12}{3}.$$

С другой стороны,

$$\frac{4(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} =\frac{4(k+1)\bigl(4k^2+8k+3\bigr)}{3} =\frac{16k^3+48k^2+44k+12}{3},$$

что совпадает с полученным выражением. Значит,

$$T_{k+1}=\frac{4(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}.$$

Следовательно, равенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.

в)

Пусть

$$U_n=\frac7{1\cdot8}+\frac7{8\cdot15}+\frac7{15\cdot22}+\cdots+\frac7{(7n-6)(7n+1)}.$$

База индукции: при $$n=1$$

$$U_1=\frac7{1\cdot8}=\frac78=1-\frac1{8}=1-\frac1{7\cdot1+1}.$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$U_k=1-\frac1{7k+1}.$$

Тогда

$$U_{k+1}=U_k+\frac7{(7k+1)(7k+8)} =1-\frac1{7k+1}+\frac7{(7k+1)(7k+8)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$U_{k+1} =1+\frac{-\,(7k+8)+7}{(7k+1)(7k+8)} =1-\frac1{7k+8}.$$

То есть

$$U_{k+1}=1-\frac1{7(k+1)+1}.$$

Следовательно, равенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.

г)

Пусть

$$V_n=\frac1{4\cdot8}+\frac1{8\cdot12}+\cdots+\frac1{4n(4n+4)}.$$

База индукции: при $$n=1$$

$$V_1=\frac1{4\cdot8}=\frac1{32}=\frac1{16}-\frac1{16\cdot2}.$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$V_k=\frac1{16}-\frac1{16(k+1)}.$$

Тогда

$$V_{k+1}=V_k+\frac1{(4k+4)(4k+8)} =\frac1{16}-\frac1{16(k+1)}+\frac1{(4k+4)(4k+8)}.$$

Так как

$$\frac1{(4k+4)(4k+8)}=\frac1{16(k+1)(k+2)},$$

то

$$V_{k+1} =\frac1{16}-\frac1{16(k+1)}+\frac1{16(k+1)(k+2)} =\frac1{16}-\frac1{16(k+2)}.$$

Значит,

$$V_{k+1}=\frac1{16}-\frac1{16((k+1)+1)}.$$

Следовательно, равенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.