Упр.13 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем формулы приведения и значения тригонометрических функций.

а)

$$8\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{2\pi}{3}\tg\frac{4\pi}{3}\ctg\frac{7\pi}{4} =8\sin\frac{\pi}{6}\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\tg\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)\ctg\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)$$
$$=8\sin\frac{\pi}{6}\left(-\cos\frac{\pi}{3}\right)\tg\frac{\pi}{3}\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right) =8\cdot\frac12\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\sqrt{3}\cdot(-1) =2\sqrt{3}.$$

б)

$$10\ctg\frac{3\pi}{4}\sin\frac{5\pi}{4}\cos\frac{7\pi}{4} =10\ctg\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right)$$
$$=10\cdot 1\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =5.$$

в)

$$\frac{\sin^2(\pi-t)}{1+\sin\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)}-\cos(2\pi-t) = \frac{\sin^2 t}{1-\cos t}-\cos t.$$
$$\sin^2 t=1-\cos^2 t=(1-\cos t)(1+\cos t),$$
поэтому
$$\frac{\sin^2 t}{1-\cos t}=1+\cos t.$$
Тогда
$$1+\cos t-\cos t=1.$$

Ответ: а) $$2\sqrt{3}$$; б) $$5$$; в) $$1$$.