Упр.129 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:
   а) функция $$f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1}$$ убывает на множестве $$\mathbb{R}$$;
   б) функция $$f(x)=\log(2;3x)$$ возрастает на промежутке $$(0; ?)$$.

Для исследования монотонности найдём производные функций.

а)

$$f(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}$$

Тогда

$$f'(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}\ln\frac13.$$

Так как $$\left(\frac13\right)^{x+1}>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$, а

$$\ln\frac13<0,$$

то

$$f'(x)<0 \quad \text{при всех } x\in\mathbb R.$$

Следовательно, функция $$f(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}$$ убывает на множестве $$\mathbb R$$.

б)

$$f(x)=\log_2(3x)$$

Область определения: $$3x>0,$$ то есть $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{3}{3x\ln 2}=\frac{1}{x\ln 2}.$$

При $$x>0$$ и $$\ln 2>0$$ имеем

$$f'(x)>0.$$

Значит, функция $$f(x)=\log_2(3x)$$ возрастает на промежутке $$\left(0;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$f(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}$$ убывает на $$\mathbb R$$; б) $$f(x)=\log_2(3x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$