Упр.129 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений:
   а) $$\begin{cases} x-y+xy=17,\\ x^2+y^2=34; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} (x^2+1)(y^2+1)=10,\\ (x-y)(xy+1)=-3. \end{cases}$$

Положим в обоих пунктах удобные обозначения и выразим систему через сумму и разность.

а)

Обозначим $$a=x-y,$$ $$b=xy.$$ Тогда из первого уравнения получаем

$$a+b=17.$$

Кроме того,

$$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=a^2+2b=34.$$

Подставим $$b=17-a$$:

$$a^2+2(17-a)=34,$$

$$a^2-2a=0,$$

$$a(a-2)=0.$$

Отсюда $$a=0$$ или $$a=2.$$

1) Если $$a=0,$$ то $$x-y=0,$$ значит $$x=y.$$ Тогда $$xy=17,$$ то есть

$$x^2=17,$$

$$x=\pm\sqrt{17}, \quad y=\pm\sqrt{17}.$$

Получаем пары $$\left(\sqrt{17};\sqrt{17}\right)$$ и $$\left(-\sqrt{17};-\sqrt{17}\right).$$

2) Если $$a=2,$$ то $$x-y=2,$$ значит $$y=x-2.$$ Тогда

$$xy=15,$$

$$x(x-2)=15,$$

$$x^2-2x-15=0,$$

$$\left(x-5\right)\left(x+3\right)=0.$$

Следовательно, $$x=5$$ или $$x=-3.$$ Тогда

если $$x=5,$$ то $$y=3;$$

если $$x=-3,$$ то $$y=-5.$$

Итак,

$$\left(-\sqrt{17};-\sqrt{17}\right),\ \left(\sqrt{17};\sqrt{17}\right),\ (5;3),\ (-3;-5).$$

б)

Обозначим $$a=x-y,$$ $$b=xy+1.$$ Тогда второе уравнение даёт

$$ab=-3.$$

Первое уравнение преобразуем:

$$\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)=10,$$

$$x^2y^2+x^2+y^2+1=10,$$

$$\left(xy+1\right)^2+\left(x-y\right)^2=10,$$

то есть

$$a^2+b^2=10.$$

Так как $$ab=-3,$$ то

$$a^2+\frac{9}{a^2}=10.$$

Умножим на $$a^2$$:

$$a^4-10a^2+9=0.$$

Положим $$t=a^2.$$ Тогда

$$t^2-10t+9=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t-9\right)=0.$$

Значит, $$a^2=1$$ или $$a^2=9,$$ то есть $$a=\pm1$$ или $$a=\pm3.$$

Рассмотрим случаи.

1. $$a=1,$$ тогда $$b=-3,$$ то есть $$x-y=1,$$ $$xy+1=-3,$$ $$xy=-4.$$

   Получаем $$y=x-1,$$

   $$x(x-1)=-4,$$

   $$x^2-x+4=0.$$

   Дискриминант $$D=1-16=-15<0,$$ решений нет.

2. $$a=-1,$$ тогда $$b=3,$$ то есть $$x-y=-1,$$ $$xy+1=3,$$ $$xy=2.$$

   Получаем $$y=x+1,$$

   $$x(x+1)=2,$$

   $$x^2+x-2=0,$$

   $$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0.$$

   Отсюда $$x=-2$$ или $$x=1.$$ Тогда соответственно

   $$(-2;-1), \quad (1;2).$$

3. $$a=3,$$ тогда $$b=-1,$$ то есть $$x-y=3,$$ $$xy+1=-1,$$ $$xy=-2.$$

   Получаем $$y=x-3,$$

   $$x(x-3)=-2,$$

   $$x^2-3x+2=0,$$

   $$\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0.$$

   Отсюда $$x=1$$ или $$x=2.$$ Тогда

   $$\left(1;-2\right), \quad \left(2;-1\right).$$

4. $$a=-3,$$ тогда $$b=1,$$ то есть $$x-y=-3,$$ $$xy+1=1,$$ $$xy=0.$$

   Получаем $$y=x+3,$$

   $$x(x+3)=0,$$

   $$x=0 \text{ или } x=-3.$$

   Тогда

   $$\left(0;3\right), \quad \left(-3;0\right).$$

Итак,

$$(-2;-1),\ (1;2),\ (1;-2),\ (2;-1),\ (0;3),\ (-3;0).$$

Ответ

а) $$\left(-\sqrt{17};-\sqrt{17}\right),\ \left(\sqrt{17};\sqrt{17}\right),\ (5;3),\ (-3;-5).$$

б) $$(-2;-1),\ (1;2),\ (1;-2),\ (2;-1),\ (0;3),\ (-3;0).$$