Упр.128 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите значение аргумента $$x_0$$, если:
   а) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{4x+1}}-\sqrt{1-x^2},\quad f(x_0)=0$$;
   б) $$f(x)=\lg(x+15)+\lg(x),\quad f(x_0)=2$$.

а) $$\frac{1}{\sqrt{4x+1}}-\sqrt{1-x^2}=0.$$

Перенесём второе слагаемое вправо:

$$\frac{1}{\sqrt{4x+1}}=\sqrt{1-x^2}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\frac{1}{4x+1}=1-x^2.$$

Умножим на $$4x+1$$:

$$1=(1-x^2)(4x+1).$$

Раскроем скобки:

$$1=4x+1-4x^3-x^2,$$

$$4x^3+x^2-4x=0,$$

$$x(4x^2+x-4)=0.$$

Отсюда

$$x=0$$

или

$$4x^2+x-4=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=1+64=65,$$

$$x=\frac{-1\pm\sqrt{65}}{8}.$$

С учётом области определения:

$$4x+1>0 \Rightarrow x>-\frac14,$$

$$1-x^2\ge 0 \Rightarrow |x|\le 1.$$

Подходит только корень

$$x=\frac{\sqrt{65}-1}{8}.$$

Итак, для пункта а) получаем $$x_0=0$$ или $$x_0=\frac{\sqrt{65}-1}{8}.$$

б) $$f(x)=\lg(x+15)+\lg x,\qquad f(x_0)=2.$$

Тогда

$$\lg(x+15)+\lg x=2,$$

$$\lg\bigl(x(x+15)\bigr)=2,$$

$$x(x+15)=10^2=100.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$x^2+15x-100=0.$$

$$D=15^2+4\cdot 100=225+400=625,$$

$$x=\frac{-15\pm 25}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-20,\qquad x_2=5.$$

С учётом области определения $$x>0$$ подходит только $$x=5.$$

Итак, для пункта б) $$x_0=5.$$

Ответ: а) $$0,\ \frac{\sqrt{65}-1}{8}$$; б) $$5$$.