Упр.128 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите системы уравнений: а) $$\begin{cases} x+y=3, \\ x^4+y^4=17; \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} x+y+xy=0, \\ x^3+y^3+x^3y^3=12. \end{cases}$$

1. Решим систему

   $$\begin{cases} x+y=3,\\ x^4+y^4=17. \end{cases}$$

   Пусть $$t=xy$$. Тогда

   $$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2.$$

   Так как $$x+y=3$$, то

   $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=9-2t.$$

   Следовательно,

   $$17=(9-2t)^2-2t^2.$$

   Получаем

   $$17=81-36t+4t^2-2t^2,$$

   $$2t^2-36t+64=0,$$

   $$t^2-18t+32=0.$$

   Тогда

   $$D=18^2-4\cdot 32=196,$$

   $$t_1=\frac{18-14}{2}=2,\qquad t_2=\frac{18+14}{2}=16.$$

   1) Если $$xy=2$$, то

   $$x(3-x)=2,$$

   $$x^2-3x+2=0,$$

   $$(x-1)(x-2)=0.$$

   Отсюда $$x=1$$, $$y=2$$ или $$x=2$$, $$y=1$$.

   2) Если $$xy=16$$, то

   $$x(3-x)=16,$$

   $$x^2-3x+16=0.$$

   Дискриминант отрицателен, значит действительных решений нет.

2. Решим систему

   $$\begin{cases} x+y+xy=0,\\ x^3+y^3+x^3y^3=12. \end{cases}$$

   Пусть $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда из первого уравнения

   $$a+b=0,\qquad b=-a.$$

   Второе уравнение преобразуем так:

   $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=a\bigl((x+y)^2-3xy\bigr)=a(a^2-3b).$$

   Тогда

   $$a(a^2-3b)+b^3=12.$$

   Подставим $$b=-a$$:

   $$a(a^2+3a)-a^3=12,$$

   $$3a^2=12,$$

   $$a^2=4,\qquad a=\pm 2.$$

   1) Если $$a=-2$$, то $$b=2$$. Тогда

   $$x+y=-2,\qquad xy=2.$$

   Получаем уравнение

   $$x^2+2x+2=0,$$

   у которого действительных корней нет.

   2) Если $$a=2$$, то $$b=-2$$. Тогда

   $$x+y=2,\qquad xy=-2.$$

   Следовательно,

   $$x(2-x)=-2,$$

   $$x^2-2x-2=0.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt{3}.$$

   Тогда

   $$y=2-x=1\mp\sqrt{3}.$$

Ответ

а) $$(1;2),\ (2;1).$$

б) $$(1+\sqrt{3};\,1-\sqrt{3}),\ (1-\sqrt{3};\,1+\sqrt{3}).$$